Справедливо указывает академик АН УССР Б.В.Гнеденко: «Потеря интереса к обучению на каком-то этапе рождает безразличие и апатию, безразличие рождает лень, а лень – безделье и потерю способностей. Вот почему важно продумать курс математики так, чтобы его изучение было интересно; содержание было современно, будило мысль и развивало способности, а также открывало пути, как в научную, так и в практическую деятельность» (Гнеденко Б.В. О перспективах математического образования // Математика в школе. 1965. №6. С.5.). Именно поэтому важное место занимают задачи и проблемные ситуации в процессе обучения математике и в развитие у учащихся познавательного интереса.
Учебные проблемы, которые ставятся перед учеником, могут решаться на протяжении как одного, так и нескольких уроков; они могут выступать и в форме обычных вопросов к учащимся, таких, например, как:
- Почему треугольник назван треугольником? Можно ли дать ему другое название, также связанное с его свойствами?
- Как можно объяснить название «развернутый угол»?
- Как бы вы назвали треугольник, у которого одни угол прямой? (Вопрос задается до ознакомления с этим термином).
Проблемные ситуации в обучении математике можно создать при решении любой задачи, возникают также в случае необходимости проверить умозаключение, сделанное на основе интуиции, на основе аналогии или попытки обобщения.
Вот несколько примеров таких проблем:
- Между углами и сторонами треугольника имеются определенные зависимости. Сохраняются ли они для четырехугольника?
- Средняя линяя треугольника параллельна основаниям. А у ромба? У параллелограмма? У любого четырехугольника?
Очень часто проблемность достигается выполнением какого-то практического упражнения или решением соответствующей задачи.
Пример. Какие углы может иметь равнобедренная трапеция, если она разбивается диагональю на два равнобедренных треугольника?
При решении этой задачи необходимо рассмотреть все случаи. Проблемность этой задачи как раз и заключается в умении увидеть эти случаи, исчерпать все возможное в этой задаче.
1-й случай (рис. 1).
Ответ: 
ВАД = СДА =72°; АВС = ДСВ =108°.
2-й случай (рис. 2).
Ответ: А = С = Д = В =90°(частный случай трапеции).
3-й случай (рис. 3).
Ответ: А = С = 120°; Д = В = 60°, и т.д.
Интересными проблемами являются задачи, ведущие к открытию новой теории.
Своеобразие нестандартных задач заключается в том, что почти каждая из них - это маленькая проблема.
Конечно, самостоятельное исследование учащимися любой проблемы требует мобилизации всех заданий и проявления изобретательности, изощренности и находчивости, оригинальности мышления и умения критически оценить условие или постановку вопроса. Но необходимым условием успешного решения серьезной математической проблемы является прежде всего глубина и разносторонность специальных знаний.
Решение маленьких математических проблем опирается не столько на специальные знания, сколько на сообразительность и изобретательность. Эти качества ума и необходимо активно развивать у школьников.
Проблемный характер задач определяется тем, какие из ее основных компонентов (условие, заключение, решение, обоснование решения) неизвестны школьнику в момент предъявления ему данной задачи.
Отнесение задачи к числу проблемных, поисковых, обучающих или стандартных зависит от школьника, которому эта задача предъявлена. Для некоторых учащихся данная задача может по существу не быть задачей (быть лишь тренировочным упражнением); для других (или тех же самых школьников, но в других условиях, например, на различных ступенях обучения) одна и та же задача может быть поисковой и даже проблемной. Так, задача «Решить уравнение x•x=x», поставленная перед учащимися II класса, будет для них проблемной; для шестиклассников эта задача близка к стандартной:
x² = x; x² – x = 0; x (x-1) = 0; x = 0 или x = 1.
В обучении математике в массовой школе в качестве нестандартных выступают лишь некоторые задачи, помещенные в дополнительных разделах учебников, и задачи, отмеченные звездочкой. Однако в практике обучения математике эти задачи обычно используются выборочно и решаются очень немногими школьниками. Между тем сформированность математического мышления, подготовленность учащихся к самостоятельной деятельности, их общая предпрофессиональная подготовленность в основном определяются умением решать задачи, названные мною поисковыми и проблемными. Поэтому даже на базе той системы задач, которая имеется в действующих учебниках математики, возможна и полезна разработка комплекса методических рекомендаций, направленных на соответствующие видоизменения условий задач, последовательности их предъявления учащимся и т.п.