Первое условие, которое надлежит выполнять
в математике, - это быть точным, второе - быть
ясным и, насколько можно, простым.
(Л.Карно)
Задачи на смеси, сплавы и растворы имеют практическую направленность, широко используются в повседневной жизни и профессиональной деятельностью человека, умение их решать является важным навыком выпускника школы.
Математика представляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремёсла и уменьшить труд людей. (Р.Декарт), поэтому задачи на «смеси» включены в экзаменационные варианты 11-го класса в задание №11 и 9-го класса в задание № 22 по демоверсии 2020 года Многие ученики даже не приступают к решению этих задач на экзамене, несмотря на то, что изучают различные способы их решения начиная с 5-го класса после изучения темы «Проценты».
Проведено много исследований, написано много научных статей и разработок уроков по этой теме, но процент усвоения методов решения остается очень низок, сохраняется психологический настрой учащихся, что решение таких задач им не под силу.
Основными методами решения задач на «смеси» являются: табличный метод, метод схем, метод «креста», графический метод и т.д. Визуально построение таблиц, графиков, схем выглядит «пугающе» для учеников, а составление уравнений или систем уравнений по ним кажется не выполнимой задачей. Упрощение и небольшое видоизменение общепринятых (в виде прямоугольников) схем построенных по условию задач, позволяет снять психологическое напряжение учащихся и сокращает время усвоения ими данного материала. Схема быстро и легко рисуется детьми, не отнимает много времени, дает наглядное изображение условия задачи, подсказывая дальнейший ход решения. Составление алгебраического уравнения или системы уравнений оказывается довольно таки простым для большинства задач, что значительно сокращает время решения на экзамене и на уроке. После серии проведенных уроков, могу сделать определенный вывод: практически за один урок большинство учащихся в классе начинают решать многие типы задач на «смеси», не испытывая особых затруднений.
Построение схемы рассмотрим на примере решения самых распространенных типов задач. Начнем с простых задач для 5-6 класса.
Задача №1
В колбе было 240 г 20%-го раствора поваренной соли. В нее долили 60 г 50%-го раствора поваренной соли. Определите процентное содержание соли в полученном растворе.
Решение:
1. По условию задачи составим схему: слева над стрелкой - процентное содержание соли в 1-м растворе, под стрелкой - массу первого раствора, справа над стрелкой - процентное содержание соли во 2-м растворе, под стрелкой - массу второго раствора, над средней стрелкой - процентное содержание соли в смеси, а под стрелкой - массу смеси.
Стрелки здесь использованы для наглядности, но на уроке вместо них изображаются просто линии, а квадратики можно не рисовать, а просто записывать данные.
2. Составим уравнение по схеме. В левой части уравнения записываем сумму произведений процентного содержания соли на массу первого раствора и процентного содержания соли на массу второго раствора, в левой части уравнения - произведение процентного содержания смеси на массу смеси.
20240+5060 = (240+60)х
1. Решим уравнение:
20240+5060 = (240+60)х
4800+3000=300х
7800=300х
х=7800:300
х=26
2. Прочитаем вопрос к задаче и дадим ответ.
Ответ: 26%
Изменим условие задачи и попробуем решить тем же методом.
Задача №2
Сколько нужно взять 20%-го и 50%-го раствора поваренной соли, чтобы получить 300 г 26% -го раствора поваренной соли?
Решение:
По условию задачи составим схему:
1. Составим уравнение по схеме, обозначив за неизвестное – х массу 20%-го раствора в г, а массу 50% раствора за (300-х)г.
20х+50(300-х) = 30026
2. Решим уравнение:
20х+ 50300-50х=7800
-30х+15000=7800
-30х=7800-15000
-30х=-7200
х=240
Найдем массу второго раствора: 300-240=60 г
3. Прочитаем вопрос к задаче и дадим ответ.
Ответ: масса 20%-го составляет 240г;
Масса 50%-го раствора составляет 60г.
Снова изменим условие задачи.
Задача №3
Сколько нужно добавить воды к 300 г. 50%-го раствора поваренной соли, чтобы получить 20%-й раствор?
Решение:
По условию задачи составим схему.
1. Составим уравнение по схеме, обозначив за неизвестное – х массу воды в г.
30050+0х=20(300+х)
2. Решим уравнение:
30050+0х=20(300+х)
15000+6000+20х
20х=15000-6000
20х=9000
х=450
3. Прочитаем вопрос к задаче и дадим ответ
Ответ: масса воды составляет 450г.
Попробуем решить белее сложную задачу на растворы для 7 класса после изучения решения систем линейных уравнений или 8 класса на повторение этой темы.
Задача №4
Смешали 20% и 50% раствор поваренной соли, затем добавили 3 кг чистой воды, в результате получили 30% раствор поваренной соли. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 % раствора соли, то получили бы 40 % раствор соли. Сколько г. 20% и 50% раствора взяли?
1. По условию задачи составим схему.
2. Составим систему уравнений по схемам, обозначив через Х кг - массу 1-го раствора , Y кг - массу 2-го раствора, Х+ Y+3 кг массу смеси.
1-е уравнение:
20х+50y+03=30(Х+Y+ 3)
2-е уравнение:
20х+50y+603=40(Х+Y+ 3)
3. Решая данную систему уравнений получим корни: х=7; у=8.
4. Прочитав еще раз вопрос к задаче запишем ответ.
Ответ: нужно взять 7 кг 20% и 8 кг 50% раствора соли.
Построения схем в таком виде значительно облегчает решение задач на сплавы, а также помогает решать задачи по химии.
Закончить статью хочется словами Г.Цейтена: «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах».
Используемый интернет-ресурс
https://www.sites.google.com/site/filosofiamatematiki/
interesnye-fakty-o-matematike-1/vyskazyvania-velikih-ludej-o-matematike