Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Разделы: Математика, Общепедагогические технологии

Тип урока: Урок «открытия» нового знания;

Основные термины и понятия: пропорция, крайние и средние члены пропорции, прямая и обратная пропорциональные зависимости, пропорциональность.

Межпредметные связи:

Наглядность: рабочие листы с заданием, оценочные листы

Формы работы на уроке: индивидуальная, групповая

Оборудование: проектор, раздаточные материалы

Планируемые результаты:

Предметные:

  • знакомство с темой прямая и обратная пропорциональность;
  • применение пропорций в решении задач;
  • изучение алгоритма действий в соответствии с видом пропорциональной зависимости;
  • осознание возможности применения пропорций в быту и других сферах деятельности человека.

Метапредметные:

Регулятивные УУД

  • целеполагание;
  • оценка деятельности;
  • самостоятельное планирование необходимых действий.

Познавательные УУД:

  • структурирование знаний;
  • осознанное и произвольное построение речевых высказывании;
  • построение логической цепи
  • рассуждений;
  • формулирование выводов;
  • осуществление для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения, устанавливание причинно-следственных связей, обобщений, выводов.

Коммуникативные УУД:

  • проявлять активность в решении коммуникативных и познавательных задач;
  • формировать навыки ролевого участия в исследовании;
  • оформлять свои мысли в устной и письменной форме.

Личностные:

  • формирование готовности и способности к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;
  • развитие способности вести диалог с другими людьми, достигать в нем взаимопонимания, находить общие цели и сотрудничать для их достижения;
  • совершенствование навыка аргументированного ответа на вопрос в режиме ограниченного времени;
  • участие в диалоге в соответствии с нормами воспитания.

Этапы урока

1. Организационный момент

Время: 3 минута

Приветствие. Проверка готовности к уроку. Выявление отсутствующих.

- Здравствуйте, ребята. Итак, преступим к уроку. Открываем тетради и записываем дату.

2. Мотивация учебной деятельности

Содержание действий учителя

Содержание действий ученика

Выявляет вместе с учащимися тему урока (пропорциональность).
- Рассмотрим задачу:

Задача 1: «Периметр прямоугольника 24 см, а отношение его длины и ширины 2:4. Найдите стороны прямоугольника.»
- К какому виду задач относится данная задача? (деление числа в данном отношении).
- Есть ли другой способ решения данной задачи?
- Какую тему мы проходили на прошлых уроках?
- Данную задачу возможно решить и с помощью пропорции. Кто-нибудь может составить пропорцию по этому условию?
1)
x =8
2) 24-8=16 (см)
Ответ: длина 8 см, ширина 16 см.

- Подобные задачи называются задачами с прямой пропорциональностью.

Задача 2: «Мама с дочерью чистят морковь для сока. Мама за 1 минуту чистит 2 штуки, а дочь 1. Как разделить между ними 9 морковок так, чтобы они закончили очищать морковку одновременно?»
- Возможно ли её решить с помощью пропорции? (да)
- Составим пропорцию.
- Обратите внимание, что для этой задачи пропорция будет составлена иначе.
1)
x =3
2) 9-3 = 6 (шт)
Ответ: 6 штук картофеля необходимо почистить маме, 3 штуки дочери.

- Такие задачи называются задачами с обратной пропорциональностью.
- Таким образом, мы с вами столкнулись с двумя видами зависимостей величин. В первой задаче была прямая зависимость, а во второй обратная. В обоих случаях мы решали с помощью составления пропорции, так как величины в задачах пропорциональны.
Но для начала сформулирует тему урока соединив воедино слова с которыми мы столкнулись решая наши задачи.
- прямая,
- обратная,
- пропорциональность,
- зависимость.

Знакомятся с условиями задачи.
Решают задачи двумя способами.
Отвечают на вопросы учителя.
Формулируют тему урока.

3. Формулирование темы урока. Целеполагание

Содержание действий учителя

Содержание действий ученика

Тема урока: "Прямая и обратная пропорциональные зависимости" (кратко: прямая и обратная пропорциональность).
Организует беседу.
- А теперь подумаем, какую цель и задачи нам следует поставить перед собой на этом уроке.
Цель урока: научиться работать с задачами на прямую и обратную пропорциональность.
Задача урока:

  • научиться определять с какой зависимостью задача;
  • решить задачи с прямой и обратной пропорциональностью, с учётом их специфики.

Формулируют свои варианты темы.
Записывают тему урока в тетрадь.
Предлагают варианты цели и задач урока.

4. Актуализация. работа над темой урока

Содержание действий учителя

Содержание действий ученика

Объясняет новый материал.
- Чтобы понять разницу между зависимостями, мы рассмотрим несколько примеров с таблицами.

Задача 3: «Мальчик хочет купить n количество ручек, стоимостью 12 рублей за 1 штуку. Сколько будет стоить вся покупка?»

кол-во ручек

1

2

3

…

стоимость 1 ручки

12

12

12

const

стоимость покупки

12

24

36

…

Составим таблицу для нашей задачи. Вместо n будем подставлять произвольные числа.
- Какие из параметров задачи меняются?
- Что остаётся неименным? Запишем в таблице, что стоимость 1 карандаша не меняется, то есть "const" (константа).
- Какая же здесь зависимость? (прямая)
Определение: Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Задача 4: «Мальчику необходимо приобрести ручки. У него имеется 48 рублей. Какая стоимость будет у одной ручки, чтобы он потратил все деньги?»
Составим таблицу для нашей задачи. Вместо p будем подставлять произвольные числа.

кол-во ручек

2

4

6

...

стоимость 1 ручки

24

12

8

...

стоимость покупки

48

48

48

const

- Какие из параметров задачи меняются?
- Что остаётся неименным? Запишем в таблице, что стоимость покупки не меняется, то есть "const" (константа).
- Какая зависимость в данной задаче? (обратная)
Определение: Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Слушают пояснения учителя.
Составляют и заполняют таблицы вместе с учителем.
Записывают определения прямой и обратной пропорциональностей.

5. Организация познавательной деятельности

Содержание действий учителя

Содержание действий ученика

Выдает раздаточные материалы с заданиями и помогает решить.
- Необходимо заполнить пропуски в таблицах на листах.
В первой таблице прямая зависимость переменной y от x.

Таблица 1:

y

1

(2)

x

2

4

5

(6)

8

Во второй таблице обратная зависимость переменной y от x.

Таблица 2:

y

1

2

3

9

x

36

18

(9)

6

(2)

- Теперь посмотрим на следующие 3 таблицы. Какие пропорциональные зависимости им соответствуют?

Задача 5: Зная, что велосипедист движется со скоростью 10 км/ч., заполните таблицу. Во второй строке указано время затраченное велосипедистом на преодоление пути, а в третьей путь, который ему необходимо проехать.

Скорость v, км/ч

10

(10)

(10)

(10)

const

Время t, ч

(2)

(1)

Расстояние s, км

45

(22)

20

10

5

 - Какая зависимость в задаче 5?
- Какая величина оставалась всегда неизменной?

Задача 6: Зная, что велосипедисту необходимо пройти путь в 24 км, заполните таблицу. В первой строке указана скорость велосипедиста, а во второй время затраченное на преодоление пути.

Скорость v, км/ч

5

(4)

(3)

1

12

Время t, ч

6

8

(24)

(2)

Расстояние s, км

24

(24)

(24)

(24)

const

- Какая зависимость в задаче 6?
- Какая величина оставалась всегда неизменной?
- Подумайте, какая еще пропорциональная зависимость может быть в задачах на движение?
- Какую величину мы еще не делали постоянной?

Задача 7: - Придумайте задачу самостоятельно, запишите условия и заполните таблицу 7.

Скорость v, км/ч          

Время t, ч

        

const

Расстояние s, км

          

Вставляют в таблицы из раздаточных материалов недостающие данные.
Решают вместе с учителем задачи.
Отвечают на вопросы.

6. Рефлексия

Содержание действий учителя

Содержание действий ученика

- Теперь переверните листы с таблицами и закончите предложения.
1. Сегодня я проходил тему ............................ .
2. На уроке мне больше всего запомнилось .......................... .
3. На уроке мне не понравилось .......................... .
Учитель задаёт домашнее задание.

Заполняют лист самооценки.
Записывают задание на дом.

Задачи на тему прямая и обратная пропорциональность решаются помощью пропорций. Однако многие учащиеся сталкиваются с проблемой правильного определения вида зависимости. Связи с чем, важно показать ученикам как правильно рассуждать, чтобы определить вид пропорциональности. Наглядным примеров для запоминания различий между зависимостями являются таблицы. Они показывают, как относительно друг друга меняются величины, одновременно увеличиваются (уменьшаются) или же увеличивается (уменьшается) лишь одна, при уменьшении (увеличении) другой.

В данном уроке были созданы элементарные таблицы, на примере которых можно разработать массу вариантов для изучения темы. Главное фантазия и желание.