Серии задач в математической деятельности школьников

Разделы: Математика, Профессия — педагог

Классы: д/с, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11


Для формирования теоретических, операциональных и практических математических знаний и решения других образовательных задач применяется средство обучения, называемое задачной конструкцией, подсистемой которой являются серии задач [1].

Задачными конструкциями в своё время занимались профессор М.И.Зайкина, а также ученые и методисты О.М.Абрамова, Н.Н.Егулемова, М.К.Гарвиш, Н.А.Гарминовач и др.

Целью данной статьи является обобщение и систематизация материала теории учебных задач в контексте проектирования серий задач, выполняющих разнообразные функции в обучении математике школьников.

Уточним понятие «серия задач». Начнём с определений основных понятий тезауруса, данных в словаре Ожегова.

Задача – 1) то что требует исполнения, разъяснения; 2) упражнение, которое выполняется, решается посредствам умозаключения, вычисления и т. п.

Конструкция – состав и взаимное расположение частей какого-либо построения, сооружения, механизма, а также само такое построение.

Следовательно, описывая задачную конструкцию, следует охарактеризовать: состав (из каких элементов состоит конструкция); тип взаимосвязи элементов задачной конструкции; характер взаимосвязи, расположение, элементов задачной конструкции.

Серия – последовательный ряд чего-нибудь, что обладает общим признаком, объединено общим назначением, составляет одну группу[2].

Из этих трёх определений выведем понятие серии задач, а затем сравним его с имеющимися в современной методической литературе.

Итак, серия задач – это такая задачная конструкция, элементы которой, то есть задачи, обладают неким явным признаком (внешней схожестью, часто структурной или содержательной) и внутренней схожестью (касающейся базиса решения задачи, метод и/или способы решения, а возможно и подходы к решению) и составляют последовательный ряд.

В методической литературе достаточно часто встречается контекстное употребление словосочетаний «задачная конструкция» и «серия задач» без определения каких-либо признаков или характеристик данных понятий.

Как считает А.А.Аксенов [3], наиболее полные и значимые результаты исследований в этой области были получены сотрудниками Арзамасского филиала Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского  Михаилом Ивановичем Зайкиным [4-7], и Олесей Михайловной Абрамовой[8-10]. Впервые определения понятий «задачная конструкция» и «серия задач» были введены в монографии «Серии, вариации и окрестности математических задач»[4]:

Задачная конструкция – это совокупность задач, удовлетворяющая многим требованиям, необходимая для достижения более общих целей, будь то формирование или закрепление нового понятия, усвоение доказательства теоремы или способа решения, рассуждения и т.п., в то время как каждая задача, рассматриваемая сама по себе, чаще всего представляет изолированное утверждение или требование и предполагает выполнение определённых действий для её решении, однако, хорошо известно, что, учитель, ставящий задачу перед учащимися, преследует, как правило, более общие цели, и для него решение конкретной задачи служит достижению лишь одной из многих частных целей урока.

В результате исследований, проведенных М.И.Зайкиным, Н.Н.Егулемовой и О.М.Абрамовой, все задачные конструкции были систематизированы следующим образом:

обучающие серии математических задач, обеспечивающих постепенное преодоление учениками познавательных трудностей, своеобразное восхождение ими по лестнице задач;

вариации задач, предназначенные для лучшего усвоения учащимися взаимосвязей величин, характеризующих задачную ситуацию;

окрестности обращенных задач, способствующие развитию гибкости мышления школьников в процессе обучения математике;

циклы задач;

цепочки задач.

Серия задач – это задачная конструкция, элементы которой должны обладать:

– внешней схожестью, выражающейся в одинаковой форме записи каждой задачи серии: использовании одинакового или похожего сюжета, числового или буквенного выражения, уравнения, неравенства, функции, геометрической фигуры или конфигурации и т. п.;

– внутренней идентичностью, определяющейся схожестью решения каждой из задач серии, которая может проявляться в использовании одной и той же формулы, тождества, преобразования, алгоритма, схемы рассуждения, какого-либо вида познавательной деятельности, метода (способа) решения  и т.д.

Другими словами, серия задач – это такая упорядоченная совокупность задач, формулировки которых имеют схожесть текстового, сюжетного, графического представления, либо математическую идентичность заданных в условии отношений.

Как видно, смысловое наполнение выведенного в начале данного подраздела определения серии задач равносильно определению профессора М.И.Зайкина.

Очевидно, что для поддержания постоянного интереса учащихся к серии задач и более полного достижения дидактической цели, содержание составляющей серийного компонента не должно быть константным, а наоборот, оно должно изменяться, быть динамичным, а также объем этого компонента должен постоянно убывать, «замаскировываться», обобщаться и т.п. – делаться все более трудным для восприятия и осознания учеником.

Таким образом, под учебной нужно понимать серию математических задач с постепенно усложняющимся для восприятия общим признаком, обеспечивающим достижение поставленной дидактической или образовательной цели.

С точки зрения структуры серии задач как задачной конструкции, должны выполняться следующие принципы:

– расположение задач в серии по нарастанию трудности решения для школьников;

– достаточность числа задач в серии для достижения поставленной дидактической цели;

– минимальность числа задач в серии при условии их достаточности для достижения планируемых результатов;

– расположение задач «вразброс», предупреждающее в необходимых случаях «механические» умозаключения.

1. Расположение задач в серии по нарастанию трудности решения для школьников достигается тогда, когда:

а) учитель располагает достаточным объемом задачного материала различного уровня сложности.

б) число логических и математических действий увеличивается или от задачи к задаче, или от одной группы однотипных задач к другой группе однотипных задач.

2. Достаточность числа задач в серии для реализации поставленной дидактической цели достигается тогда, когда решение школьниками задач серии позволяет им полностью достигнуть результатов, запланированных учителем.

3. Минимальность числа задач в серии при условии их достаточности для достижения планируемых результатов можно считать реализованной в том и только том случае, когда задачи учебной серии не являются клонами друг друга, но, в то же время, охватывают все возможные случаи.  

4. Расположение задач «вразброс», предупреждающее в необходимых случаях «механические» умозаключения с учётом последовательного нарастания трудности можно считать удовлетворительным тогда и только тогда, когда задания даются различными способами («Найдите…», «Разложите…», «Вынесите…», «Представьте…», «Решите…», «Докажите…» и т.д.), тем самым подталкивая учеников к поиску логической связи между заданием и изучаемой темой; для их решения необходимо привлекать различные знания из ранее изученного материала.

С точки зрения функциональности, вариантами целевого назначения применения серий математических задач могут быть:

а) отработка навыков выполнения математических действий (вычислений, преобразований, построений и т.д.);

б) подведение к обнаружению (открытию) какой-либо особенности математического объекта, зависимости или закономерности, их выражения в виде соотношения, формулы или словесного правила и т.д.;

в) усвоение способов решения задачи, схемы рассуждения, алгоритма действий и т.д.;

г) диагностика математических способностей школьников, уровня сформированности у них какого-либо умения или навыка.

Таким образом, можно ввести следующую классификацию серий задач по функциональному признаку:

  • Демонстрационные – основной их задачей является иллюстрация проявления той или иной закономерности.
  • Обучающие:
    • формирующие – предназначенные для формирования определенного навыка;
    • подводящие – ориентированные на подведение обучаемых к обнаружению общего выражения того самого признака, который характерен для каждой задачи серии.
  • Диагностические – позволяющие устанавливать наличие математических способностей или качество математических знаний школьников.

С точки зрения дидактической ценности серии математических задач способствуют:

– развитию интереса учащихся к занятию математикой, так как серии числовых равенств и неравенств, тождеств и уравнение, и т. п. благодаря внешней схожести, привлекают внимание учеников, вызывают у них любопытство и желание приступить к выполнению заданий;

– развитию познавательной самостоятельности школьников, так как благодаря возможности выполнения математической деятельности со все усложняющимся составом действий или набором операций, серии учебных математических задач могут увлечь школьника учебным познанием, окрылить его промежуточными результатами  и непрестанно вести к получению самого общего результата, обеспечиваемого этой серией;

– развитию эстетического вкуса учащихся, так как повторяющиеся фрагменты содержания математических задач могут образовывать математические объекты, обладающие эстетической привлекательностью, а красота, как известно, притягивает человека, обладает сильным побудительным воздействием, является средством внутренней мотивации человека к деятельности, а ученика – к учебному познанию;

– развитию креативности школьников, формированию у них способности к математическому творчеству с помощью правильно составленных серий математических задач, обеспечивающих самостоятельное успешное продвижение ученика от задачи к задаче.

– развитию внимательности обучаемого;

– развитию целеустремленности, настойчивости в достижении поставленной цели.

С точки зрения процесса применения серий задач в школьном курсе математики, можно говорить о таких способах, как:

– совместное решение учащимися задач серии при попеременном комментировании хода решения каждой задачи отдельными учениками;

– совместное решение задач серии с обсуждением хода решения каждой задачи;

– самостоятельное решение задач серии каждым учащимся без непосредственного взаимодействия с другими учащимися класса или учебной группы и др.

Организационными формами использования серий математических обучающих задач могут быть: устный счет; всевозможные тренажеры; практикумы; проектные задания; домашняя работа и др.

При этом задачи серии могут: предъявляться полным списком; формулироваться учителем по мере решения; формулироваться самими учащимися по наводке учителя; составляться учащимися самостоятельно и т.д.

Согласно исследованию, проведенному И.Б.Шмигириловой [11], использование серий математических задач в учебном процессе способствует установлению внутрипредметных и межпредметных связей, формированию у обучающихся системных знаний, опыта полого цикла работы с информацией, познавательной самостоятельности, обеспечивает многообразие ролей взаимодействующих друг с другом субъектов образовательного процесса. Связи между отдельными задачными ситуациями, будучи выявленными и осмысленными обучающимися на основе предложенных учителем вопросов и дополнительных требований, приобретают обобщенный характер, закрепляются в личном опыте школьников, обеспечивая формирование познавательных стратегий и метапредметных способов деятельности. При этом еще одним эффектом от использования задач, организованных в систему, является экономия времени, поскольку взаимосвязанные задачные ситуации способствуют рационализации процесса поиска решения, определяют объективную непрерывность познавательной деятельности, ее интенсификацию.

Несомненно, дидактическая ценность серий задач как задачной конструкции достаточно велика как на уровне общего начального [12], основного и среднего (полного) образования, а также при самостоятельной подготовке к сдаче ОГЭ и ЕГЭ [15].

По мнению Н.А.Гарминович [16], самое сложное для ученика в решении любой задачи – определить направление (метод, способ, систему приёмов) её решения, а преподавателю – подобрать наиболее подходящие подводящие к решению вопросы. Грамотно сконструированная серия задач снимает эти проблемы.

По мнению Н.Ю.Лазаревой [17], при решении различного рода задач учащиеся склонны обращаться к своему прошлому опыту решения проблем, и если у них в арсенале есть успешно работающий алгоритм действий, то ученики, как правило, обязательно им воспользуются. Данный подход во многих ситуациях позволяет им без лишних энергетических затрат быстро дать ответ.

Исходя из вышесказанного, нельзя не согласиться с мнением, высказанным многими исследователями о том, что умение составлять серии математических задач целевого назначения следует отнести к фундаментальным умениям школьного учителя математики, наличие которого свидетельствует о высокой компетентности в области методики обучения математике.

При составлении обучающей серии степень аналогичности задач, входящих в нее может быть различной. Самое простое – это составление серии из задач-клонов, одинаковых по сложности, способу решения, теоретическому базису, равноценных или очень близких по сложности, и отличающихся друг от друга числовыми данными, обозначениями, расположением объектов, наименованием нематематических объектов задач.

Следующий уровень умения – составление серии из задач, однотипных с исходной и не выходящих за рамки единой учебной темы. Задачи в серии могут отличаться по сложности и по уровню трудности.

Более высокое мастерство и знание математики требуются при составлении серии задач, в которой аналогия с исходной прослеживается на уровне обобщенной модели.

И, наконец, вершина мастерства – составление серий задач, в которых аналогия прослеживается между разными учебными предметами школьного курса математики, связь между задачами заметна не каждому, поскольку умение увидеть ее зависит и от суммы знаний, и от способности комбинировать, связывать знания по-новому [18,19].

Таким образом, анализ вышеизложенного материала позволил прийти к выводу, что обучающая серия математических задач будет применена в учебном процессе наиболее эффективно, если ее составление будет происходить поэтапно:

  1. Постановка учебной задачи (четкое определение целей серии задач - какими конкретными знаниями, умениями и навыками должен овладеть учащийся в результате решения данной серии задач в соответствии с выбранной учебной темой).
  2. Обзор базового уровня темы: основные понятия, характеристики, методические аспекты (рассматриваются необходимые определения, характеристики, операции, методы, взаимосвязи понятий рассматриваемой темы в школьном курсе математики).
  3. Моделирование серии задач: подбор задач с учетом тематики, возраста обучаемого, уровня сложности задач, основных дидактических функций системы задач.
  4. Контроль: проверка соответствия серии задач необходимым условиям: признакам, характеристикам, критериям.
  5. Корректировка. Данный этап используется только в тех случая, когда сконструированная серия задач не соответствует каким-либо методическим аспектам и требованиям, предъявляемым на предыдущем этапе.
  6. Апробирование данной серии задач. На данном этапе готовая серия задач реализуется в учебной программе. Далее проводится сравнительный анализ исходных данных об уровне обучения учащихся по данной теме с новыми, полученными в результате системы контроля после применения сконструированной серии задач. После чего делаются соответствующие выводы об эффективности ее применения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

  1. Задачные конструкции математического развития школьников: сборник статей участников научно-методического семинара / Под общ. ред. С.В. Арюткиной, С. В. Напалкова. – Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2015. – 102 с.
  2. Ожегов, С. И. Толковый словарь русского языка: 80000 слов и фразеологических выражений / С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова; Российская академия наук. Институт русского языка им. В. В. Виноградова – 4-е издание, дополненное. – М. : Азбуковник, 1999. – 944 с.
  3. Аксёнов, А. А. О вкладе профессора М.И. Зайкина в теорию школьных математических задач / А.А. Аксёнов // Современные проблемы физико-математических наук. Материалы III Международной научно-практической конференции. Под общ. ред. Т.Н. Можаровой. – 2017. – С. 409-412.
  4. Зайкин, М. И. Серии, вариации и окрестности математических задач / М.И. Зайкин, Н.Н. Егулемова, О.М. Абрамова. Под общ. ред. М. И. Зайкина; Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Арзамасский филиал. Арзамас, – 2014.
  5. Зайкин, М. И. Обращение математических задач / М.И. Зайкин, О.М. Абрамова // Школьные технологии. – 2013. – № 1. – С. 106-113.
  6. Зайкин, М. И. О приобщении школьников к математическому творчеству / М.И. Зайкин // Школьные технологии. – 2012. – № 5. – С. 46-59.
  7. Зайкин М. И. Развивающаяся цепочка задач как методическая основа продуктивного обучения математике / М. И. Зайкин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2014. – № 3-4. – С. 51-55.
  8. Абрамова, О. М. Составление обращённых математических задач учащимися как элемент развития творческой деятельности / О. М. Абрамова // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки. – 2017. – № 2 (46). – С. 122-127.
  9. Абрамова, О. М. О приобщении школьников к математическому творчеству в процессе обращения задачи / О. М. Абрамова // Наука и образование: новое время. – 2015. – № 5 (10). – С. 66-76.
  10. Абрамова, О. М. Авторская программа элективного курса по математике «Обращение школьных математических задач» / О. М. Абрамова // Российское математическое образование в XXI веке. Материалы XXXVII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов. Министерство науки и высшего образования РФ, Министерство образования и науки Республики Татарстан, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Набережночелнинский государственный педагогический университет». – 2018. – С. 11-13.
  11. Шмигирилова, И.Б Дидактическая ценность задачи и пути ее повышения / И. Б. Шмигирилова // Наука и школа. – 2018. – № 6. – С. 130-135.
  12. Яворская, И. Н. Особенности развития теоретического способа решения словесно-логических задач младшими школьниками : Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата психологических наук / И. Н. Яворская. – Москва, 2004. – 23 с.
  13. Напалков, С. В. Специфика заданий и задачных конструкций информационного контента тематического образовательного web-квеста / С. В. Напалков // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия: Социальные науки. – 2014. – № 4 (36). – С. 222-226.
  14. Арюткина, С. В. Использование окрестностей обобщенных математических задач в информационном контенте тематического образовательного web-квеста / С. В. Арюткина, С. В. Напалков // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. – С. 739.
  15. Гавриш, М. К. Задачные системы в подготовке учащихся к ОГЭ и ЕГЭ по математике (учебные серии задач) / М. К. Гавриш // Информационно-коммуникационные технологии в педагогическом образовании. –2017. –№ 4 (51). – С. 10-11.
  16. Гарминович, Н. А. Некоторые аспекты решения текстовых задач в школьном курсе математики / Н. А. Гарминович, Я. В. Калошина // Современные педагогические технологии в организации образовательного пространства региона : сборник материалов Областной научно-практической конференции. – 2018. – С. 107-111.
  17. Лазарева, Н. Ю Воздействие на формирование эффекта серии с помощью метода вторичной задачи / Н. Ю. Лазарева, И. Ю. Владимиров // Личность, интеллект, метакогниции: исследовательские подходы и образовательные практики Материалы III-й Международной научно-практической конференции. – 2018. – С. 261-268.
  18. Менькова, С. В. О формировании у будущих учителей математики умения составлять задачи-аналоги и конструировать их окрестности / С. В. Менькова // Научный альманах. – 2015. – № 8 (10). – С. 580-583.
  19. Образовательная среда сегодня: теория и практика : материалы VI Междунар. науч.-практ. конф. (Чебоксары, 26 июля 2018 г.) / редкол.: О.Н. Широков [и др.]. – Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2018. – 184 с.