Решение комбинаторных задач при изучении математических дисциплин «Дискретная математика» и «Теория вероятностей и математическая статистика»

Разделы: Математика

Класс: 11

Ключевые слова: решение комбинаторных задач , теория вероятностей


Комбинаторика (Комбинаторный анализ) - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).

Комбинаторика возникла в XVII в. Долгое время казалось, что комбинаторика лежит вне основного русла развития математики и ее приложений. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин и связанного с этим расцвета конечной математики.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда комбинаторику понимают более широко, включая в неё раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Мною преподаются такие математические дисциплины как «Дискретная математика» и «Теория вероятностей и математическая статистика» студентам второго курса специальности «Компьютерные системы и комплексы».

По дисциплине «Дискретная математика» на изучение комбинаторики отводится 2 часа лекционного материала, 2 часа практических работ, 2 часа самостоятельного изучения материала.

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» на изучение комбинаторики отводится 2 часа лекционного материала, 2 часа практических работ, 2 часа самостоятельного изучения материала.

Комбинаторика связана с подсчетом числа комбинаций, которые можно составить из данных элементов, наблюдая те или иные условия, поэтому в основе комбинаторики лежат такие простейшие комбинации как сочетания, перестановки, размещения. По обеим дисциплинам я со своими студентами рассматриваю эти простейшие комбинации.

Данный раздел математики очень важен для студентов второго курса специальности «Компьютерные системы и комплексы» в связи с тем, что комбинаторный анализ имеет практическое применение в программировании при вычислениях дискретных конечных математических структур (на третьем курсе студенты будут изучать дисциплину «Основы алгоритмизации и программирования», «Базы данных»).

 Примеры задач на комбинаторику, которые я рассматриваю со своими студентами на занятиях:

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках? (задача на перестановки)

Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

Задача № 2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести  девушек на танец? (задача на размещения)

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:

Задача №3.  Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек? (задача на сочетания)

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно

Итак, изучение комбинаторики необходимо в наше время, так как  знания, приобретенные в ходе её изучения, пригодятся нам и во многих технических науках (информатика, математика).

Литература

  1. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник / М.С.Спирина, П.А.Спирина. – Москва, издательский центр «Академия», 2012.
  2. Кочетков Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / Е.С.Кочетков, С.О.Смерчинская, В.В.Соколов. – Москва, ФОРУМ-ИНФРА-М, 2003.