Модули. Применение геометрического смысла модуля при решений уравнений и неравенств

Разделы: Математика, Мастер-класс

Классы: 9, 10, 11


Цель: Актуализировать знания школьников о смысле понятия «модуль». Учить их применять эти знания при решении уравнении, неравенств и систем уравнении с модулями.

Для того, чтобы научиться решать уравнения и неравенства с модулем, необходимо хорошо разобраться с понятием модуля, его геометрическим смыслом и свойствами.

С рассмотрения этого материала мы и начнем наше занятие.

1. Определение: Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, или число противоположное данному, если оно отрицательно.

Таким образом:

  • Если, а>0, то |а|=а (|5| =5);
  • Если, а=0, то |а| =а (|0|=0);
  • Если, а<0, то |а|=-а (|-3|=-(-3)=3).

Собрав воедино полученную информацию, составим определение модуля (его алгебраическую запись):

Замечание. Запись –а («минус» перед переменной) не дает информации о знаке этого выражения, а только как бы говорит: «смени знак».

Поэтому при а<0,  -а>0.

Следовательно, при любых значениях переменной |а| есть число неотрицательное.

2. Рассмотрим основные свойства модуля, которые используются при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Свойства модуля

- Модуль числа есть величина неотрицательная: |а|>0 или равно 0.

- Модули противоположенных чисел равны: |а|= |-а|

- Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |а*в|= |а|*|в|.

- Модуль частного равен частному модулей числителя и знаменателя: |а/в|=|а|/|в|, где в не равен нулю.

- Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения: |а|22.

- Модуль суммы не больше суммы модулей ее слагаемых: |а+в|≤|а|+|в|.

При этом равенство |а+в|=|а|+|в| имеет место тогда и только тогда, когда слагаемые одного знака или одно из слагаемых равно нулю.

- Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются только знаками, то есть являются противоположными: |а|=|в|, если, а=в или, а=–в.

Преобразование выражений, содержащих модули

При решении уравнении и неравенств с модулем, часто приходится преобразовывать их, раскрывая знак модуля.

Рассмотрим, по каким правилам раскрывается модуль.

Из определения модуля следует: чтобы раскрыть знак модуля, надо знать знак подмодульного выражения.

Составим схему раскрытия модуля:

а) если знак подмодульного выражения неотрицателен, то знак модуля опускается: |а| =а.

б) если знак подмодульного выражения отрицателен, то подмодульное выражение умножается на (-1), то есть заменяется противоположенным выражением: |а| =-1а.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.1

Упростить выражение:

а) |2с|, если с < 0;

б) |-7х|, если х>0;

Решение:

а) т.к. с < 0, то 2с <0, поэтому, умножив подмодульное выражение на (-1), получим: |2c|=-1*2c=-2c;

б) т.к. х > 0, то -7х <0, умножив подмодульное выражение на (-1), получим: |-7х|=-1*(-7х)=7х;

Пример 1.2

Упростите выражение:

а) |х-2|, если х > 5;

б) |3+х|, если х <- 4.

Решение:

Действуем по схеме:

а) т.к. х>5, то х-2 > 0, поэтому |х-2|=х-2;

в) т.к. х < -4, то 3+х < 0, значит, |3+х|=-1*(3+х)=-3-х.

Пример 1.3

Упростить выражение: |8-х| - |х-6|, если х < 6.

Решение:

Т.к.   х < 6, то  8 – х > 0,  |8-х|= 8 – х,  х-6 < 0,  |х-6|=-1*(х-6) = 6-х.

Поэтому,  |8 – х|-|х - 6|=8 – х - (6 – х)=8 – х – 6 + х = 2.

3. Для раскрытия знака модуля необходимо знать знак подмодульного выражения. Но все предложенные подмодульные выражения не имеют постоянного знака, т.к. ограничения на переменные не указаны. Поэтому нужно рассмотреть два возможных случая: когда подмодульное выражение неотрицательно и когда оно отрицательно. Для того, чтобы разграничить значения переменной, найдем, при каком значении переменной подмодульное выражение равно нулю (т.к. при переходе через ноль выражение обычно меняет свой знак).

Пример 1.4

Упростить выражение:

а) |3х - 2|;

б ) 3*|3х + 9| - 6; 

в)  х - |х|.

Решение:

а) Подмодульное выражение 3х – 2 = 0 при х = 2/3.

При х < 2/3 3х – 2 < 0,  поэтому  |3х - 2|= -1* (3х – 2)= 2 – 3х.

При х > (=) 2/3   3х – 2 >(=)0, следовательно, |3[ - 2|= 3х – 2.

4. Задания для самостоятельной работы

Упростите выражение:

а)  |3х|, если  х > 0;

б)  |- 3/7х|, если х < 0;

в)  |- 15ас2|, если а > 0;

г)  |8 + х|, если х > -7;

д)  |х - 5| - |х + 4|, если  -3 < х < 4;

е)  4*|5х - 1| + 2;

ж)  (х – 1) * |х + 1|;

5. Геометрический смысл модуля

Определение: Пусть А и В – две произвольные точки на числовой оси, а и в их координаты. Тогда расстояние между точками А и В (т.е. длина отрезка АВ) равна |а - в|.

S(А,В)=|АВ|=|а - в|

Замечание: запись S(А,В) –расстояние между точками А и В.

Тогда |а| можно рассмотреть, как |а - 0|. Поэтому геометрический смысл модуля можно сформулировать так:

Модуль числа есть расстояние от начала координат до точки с этой координатой.

Правило, состоящее из трех слов, школьники должны запомнить наизусть до того, как я начну рисовать им соответствующие рисунки:  модуль – это расстояние.

Затем уточняем: расстояние между чем и чем?  Между нулём и соответствующим числом.

Может ли расстояние быть выражено отрицательным числом? Нет! Поэтому значение модуля всегда положительно.
Известно, что  |х|= 5.  Покажите на числовой оси, где стоит число х?

Оба эти расстояния равны 5 единицам – это и есть смысл понятия «модуль» (знак «прямые палочки» раньше использовался в геометрии для обозначения расстояния, но в последних изданиях учебников он уже не используется).

Далее в таком же «рисуночном виде» на доске решается несколько простейших уравнении и неравенств с модулем.

Приведенный выше рисунок нужно сделать на доске таким образом, чтобы он сохранялся и играл роль «подсказки - напоминания». Первые два задания решаются на доске школьниками по желанию (фронтально). Третье задание предлагается для самостоятельной работы на 5 минут. Учитель заглядывая в тетради, определяет верные решения. Затем задания решаются на доске, если есть необходимость.

Задания

1. Решить уравнение:

  1. |3х + 1|=7; 
  2. |1 – 2х|=43;
  3. |11 + 10х|=1; 
  4. |7 – 3х|=11.

2.Решить неравенство:

  1. |2х - 7|≤2; 
  2. |18 - х| ≥ 48; 
  3. |1 + 5х| < 4; 
  4. |2 – 9х|>13.

3. Решить неравенство самостоятельно:

  1. |2х + 1| >5; 
  2. |3 – 2х|<3; 
  3. 1/|х - 3| > 1.

4. Решить уравнение:

  1. ||х| - 6| = 5.

5. Решить уравнение:

  1. |х - 3|=|х+ 5|.

6. Решить неравенство:

  1. |х - 3| + |х - 5| > 3.

7. Найдите наибольшее натуральное значение параметра с при котором решение неравенства 

  1. ||2х + 4| - 7| - 13 ≤ 2с2 удовлетворяет условию х [-37; 35].

Это задание можно предложить сильным школьникам для домашней работы с последующей проверкой на уроке.

Решения и ответы:

1. Для решения уравнении используем рисунок на доске и правило: «Модуль - это расстояние»:

  1. |3х + 1|=7  => 3х+1=7  или  3х + 1=-7  => х=2  или  х=-8/3
  2. х=-21; х=22
  3. х=-4/3; х=6
  4. х=-1;  х=6/5

2. Для решения неравенства сделаем ещё два рисунка.

|2х - 7|≤2;

Значение выражения, стоящего под модулем, не должно превышать 2, значит

-2≤2х-7≤2

5≤2х≤9  =>  2,5≤х≤4,5, х .

|18 - х|≥ 48;

Значение выражения, стоящего под модулем, должно быть больше, чем 48 единиц, значит:

18 – х ≥ 48  или  18 – х ≤ -48 => х ≤ -30  или  х ≥66.

-1 <х<3/5

Х < -11/9  или  х > 15/9.

3. Х > 2  или  х < -3.

0< х <3.

(2;3); (3;4).

4. Для решения уравнения  ||х| - 6|=5  используем правило «Модуль это расстояние». Таким образом, под внешним модулем могло стоять число 5 или -5:

|х| - 6 = 5  или  |х| - 6 = -5

|х| = 11  или  |х| = 1

В первом случае под модулем могло стоять число 11 или -11, во втором случае числа 1 или -1.

5. |х - 3|=|х + 5|

Сформулируем геометрический смысл данного уравнения:

|х + 5| - есть расстояние от х до -5;

|х - 3| - расстояние от х до 3.

Так как эти расстояния равны, то решить данное уравнение, значит, найти такие х, которые лежат на равном расстоянии от 3 и -5.

Очевидно, что х не может лежать ни правее 3, ни левее -5, а только между 3 и -5. Т.е. х есть середина отрезка [-5;3].

Найдём длину отрезка: S = |-5 - 3|=8.

Длина половины отрезка: ½ S=4.

Поэтому х найдем или прибавив 4 к -5, или отняв 4 от 3;

Х = -5 + 4 = 3 – 4 = -1.

Ответ: -1.

6. Х < 2,5  или х > 5,5.

7. С=5.