Системы счисления Методика преподавания темы на уроках в 8–11-х классах с углубленным изучением информатики для подготовки к ГИА

Разделы: Информатика, Конкурс «Презентация к уроку»

Классы: 8, 9, 10, 11

Ключевые слова: системы счисления, позиционные системы счисления, подготовка к ГИА


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (356,8 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


На уроках информатики мы никогда ничего не зубрим! Ученики должны понимать все, о чем говорится на уроках, и запоминать новое путем повторений пройденного, сравнений и ассоциаций с уже знакомыми темами и понятной информацией.

Для максимально быстрого и однозначно верного решения задач мы придерживаемся принципа: чем меньше вычислений и другой работы мы делаем, тем меньше времени тратиться на решение задачи и тем меньшую вероятность появления ошибок получаем в результате. При этом, соглашаясь с Аристотелем, что «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле», я настаиваю на способах решений, соответствующих этому принципу, хотя существуют и другие варианты. На своих уроках я придерживаюсь изложения темы именно в этом ключе. Сначала это бывает сложно, особенно тем, кто приходит ко мне на уроки уже знакомым с иначе излагаемым материалом и не желающим переучиваться. Но хочу научить Вас решать быстро и без ошибок, экономя время и силы для новых задач. Поверьте, этому несложно научиться, нужно только поверить в свои силы - и все получится! При этом проверочные работы и тесты проводятся мной на время с расчетом решения задач именно по такому принципу.

При изучении этой темы обращаю особое внимание на таблицу степеней двойки и на ряд закономерностей. При этомзнание таблицы является необходимым и достаточным условием для максимально быстрого и однозначно точного решения, а дополнительное знание закономерностей позволит выполнить все еще быстрее и точнее.

Ниже приведена таблица степеней двойки, где n – это степень, а 2n результат возведения числа 2 в степень n:

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2n

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

Таблицу не обязательно заранее учить наизусть. Постарайтесь при решении задач пользоваться ею, но при этом заглядывать в нее все реже и реже, пытаясь сначала вспомнить значение степени. Тогда эта таблица сама «уляжется» в Вашей голове и очень поможет Вам на экзамене в этой и в других темах!

Теперь перейдем к теории рассматриваемой темы.

Система счисления или нумерация – это способ записи (обозначения) чисел.

Возьмем это за основу работы с разными системами счисления, поскольку только способ записи у них будет разный, а все закономерности одинаковые. Поэтому в случае возникновения трудностей в понимании темы обращаемся к десятичной системе счисления и переносим аналог на остальные.

Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит, называется основанием (размерностью) системы счисления. Число в любой системе счисления состоит из цифр, входящих в алфавит этой системы.

В системе счисления, которой мы пользуемся в повседневной жизни – 10 цифр (от 0 до 9), и поэтому такая система счисления называется десятичной.

Аналогично, если в системе счисления будет две цифры (0 и 1), то она называется двоичной, восемь цифр (от 0 до 7) – восьмеричной и т.д.

Основание алфавита указывается в виде индекса числа, записанного в десятичной системе счисления, например: 10112, 1528, 1А716.

При этом основание десятичной системы счисления можно не указывать (будем использовать то, что всем нам привычно - "по умолчанию").

Обратим внимание, что

  • наименьшей цифрой в алфавите любой системе счисления является ноль, а наибольшая цифра всегда на единицу меньше основания

Системы счисления бывают двух видов - позиционные и непозиционные.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа.

Например, запишем одинаковыми цифрами несколько разных чисел:

1234 = 1 тысяча + 2 сотни + 3 десятка + 1 единица

3124 = 3 тысячи + 1 сотня + 2 десятка + 4 единицы

4321 = 4 тысячи + 3 сотни + 2 десятка +1 единица.

Таким образом, числа, составленные из одних и тех же цифр, но стоящих в числах на разных позициях, имеют различные значения (математический вес).

Как и в привычной нам десятичной, так и в любой другой позиционной системе счисления значение числа образуется суммой результатов умножения цифр на «веса» (степени основания) соответствующих разрядов.

Например,

3948 = 3*1000+9*100+4*10+8*1 = 3*103+9*102+4*101+8*100

10112 = 1*23+0*22+1*21+1*20 или 10112 = 1*20+1*21+0*22+1*23

(далее будем пользоваться последней приведенной в примере формой записи, чтобы не делать лишних действий и не нумеровать степени двойки слева направо для их правильного использования).

При этом форма записи числа в виде 3948 называется свернутой, а в виде 3*103+9*102+4*101+8*100развернутой формой записи числа.

Примером непозиционных систем могут служить древнеегипетская, древнеславянская или римская система счисления. 
Самым ярким примером непозиционной системы счисления является известная всем римская система счисления, в которой каждый символ обозначает всегда одно и тоже число независимо от его позиции в числе. Так в римской системе счисления из двух цифр X - десять и I - один можно составить числа: XI (одиннадцать), IX (девять), XIX (девятнадцать) или другие, но во всех них значения цифр в зависимости от занимаемых позиций не меняются, а значение числа получается разным при смене порядка следования цифр друг за другом.

Будем называть позиционные системы счисления дружественными (родственными), если в основании у них лежит одно и то же число, но в разных степенях. При этом «дружат» они через систему счисления с основанием в первой степени.

Например, двоичная, четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления «дружат» через двоичную, т.к. в основании у них лежит число 2, но в разных степенях:

2=21, 4=22, 8=23, 16=24

Будем считать, что десятичная система счисления не дружит ни с какой другой, так как ближайшая к ней система счисления с основанием 100 в практических вычислениях нам не встречается.

Правила перевода между различными системами счисления делятся на две группы – перевод между дружественными и недружественными системами.

Перевод между недружественными системами счисления всегда выполняется через десятичную систему следующим образом:

  • из десятичной системы счисления в любую – делением исходного числа на основание системы счисления, в которую переводим; при этом остатки от деления и последнее частное должны быть меньше этого основания. Частное и остатки от деления собираются справа налево.
  • из любой системы счисления в десятичную - умножением цифр на «веса» (степени основания) соответствующих разрядов и все полученные значения складываются.

Например, переведем десятичное число 25 в двоичную систему счисления (рис.1):

Тогда 2510 = 110012

и обратно 110012 = 1*20+0*21+0*22+1*23+1*24

2510 = 2213

и обратно 2213 = 1*30+2*31+2*32

2510 = 416 и обратно 416 = 1*60+4*61

Для быстрого и точного перевода между дружественными (причем только между ними!) двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления построим таблицу соответствия десятичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел двоичным, и назовем эту таблицу таблицей «дружбы» (рис.2). Левая часть этой таблицы включает цифры восьмеричной системы счисления, а правая дополняет ее для всех цифр шестнадцатеричной системы счисления.

Рис. 2

Заметим, что так как каждая цифра в любой системе счисления занимает только одну позицию (один разряд числа), то в шестнадцатеричной системе счисления для записи цифр со значением больше 9 (10, 11 и т.д. здесь – это цифры!) используют латинские заглавные буквы от A до F .

Данная таблица разделена двойными линиями в местах условного ее разделения на дружественные системы счисления (двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную).

Обратите внимание, что длина чисел в двоичной системе счисления зависит от степени двойки в основании дружественной системы счисления:

  • т.к. 8=23, то при переводе из восьмеричной системы счисления в двоичную мы записываем каждое двоичное число тремя разрядами (триадами);
  • т.к. 16=24, то при переводе из восьмеричной системы счисления в двоичную мы записываем каждое двоичное число четырьмя разрядами (тетрадами);

Именно это позволяет легко осуществлять перевод между дружественными системами счисления, записывая каждую цифру исходного числа соответствующей ему в таблице двоичной цифрой с учетом того, чтобы длина двоичной цифры при этом строго соответствовала степени двойки основания исходной системы счисления:

  • 8=23, то меняем одну восьмеричную цифру на три двоичные - триады,
  • 16 = 24, тогда меняем каждую шестнадцатеричную цифру на четыре двоичные - тетрады,

дополняя их при необходимости до нужной длины незначащими нулями слева (добавление нулей справа от исходного числа является результатом умножения числа на 10, 100 и т.д., т.е. изменяет исходное число).

Например,

1528 = 001 101 0102 = 1 101 0102

(при этом первые два нуля не указываются, т.к. они незначащие), а

15216 = 0001 0101 00102 = 1 0101 00102

(при этом первые три нуля также не указываются).

Выполним перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно через двоичную систему счисления.
Перегруппировка двоичных разрядов по четыре и по три во второй части выражений выполняется справа налево по количеству разрядов в степени результирующей системы счисления, а дальнейшая запись числа – как обычно, слева направо.

Например,

1528 = 1 101 0102 = 110 10102 = 6А16

15216 = 1 0101 00102 = 101 010 0102 = 5228

Теперь обратим внимание еще на несколько закономерностей, которые можно заметить в вышеприведенной таблице «дружбы» и аналогичных ей таблицах других систем счисления, в том числе и десятичной.

Закономерность № 1

  • Любое основание в своей системе счисления выглядит как 10, т.е.

N10 = 10n

(210=102 – посмотрите в таблице, 810=108, 1610=1016 и т.д.).

Закономерность № 2.

  • Степень любого основания в своей системе счисления выглядит как единица и количество нулей, равных степени, т.е.

(посмотрите в таблице: 4=22=1002, 8=23 =10002, тогда 16=24=100002).

Закономерность № 3.

  • Число, стоящее перед k-й степенью основания, в своей системе счисления выглядит как последовательность из k самых больших цифр этой системы счисления, т.е.

(посмотрите в таблице: 3=22 – 1=112, 7=23 - 1=1112, тогда 15=24-1=11112).

Закономерность № 4.

  • Длина числа при переводе десятичного числа в любую систему счисления легко определяется по формуле:

где Ch – исходное число,

L - длина после перевода в систему счисления с основанием N.

(например: 22 5 < 23, тогда при переводе в двоичную систему счисления длина числа будет равна 3, посмотрите в таблице: 5=1012;

23 13 < 24, тогда при переводе в двоичную систему счисления длина числа будет равна 3, посмотрите в таблице: 13=10112).

Если закономерности 1, 2 и 3 применяются для быстрого и точного перевода чисел между системами счисления, то закономерность 4 удобно использовать для первичной проверки правильности перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую, что позволит сэкономить время на проверке результата перевода и даст возможность избежать ошибок).

Но использование закономерностей дает нам еще ряд преимуществ!

Так, помня о нашем принципе быстрых и точных вычислений и в соответствии с закономерностями 1 и 3, рекомендуется выполнять перевод из десятичной системы счисления в двоичную разложением числа на степени двойки следующим образом. Вычитаем из числа степень двойки, которая меньше числа, но максимально приближенную к нему, Затем с остатком проделываем те же действия до тех пор, пока не разложим все число на степени двойки.

Например:

25 = 16 + 8 + 1 = 24 + 23 + 20

(25 – 16 = 9 ; 9 = 8 + 1)

После этого, заменяем присутствующие степени двойки единицами (в соответствии с закономерностью 2), а пропущенные – нулями в порядке следования степеней, получая двоичную запись числа:

25 = 16 + 8 + 1 = 24 + 23 + 20 = 110012

(отсутствующие вторую и первую степени двойки заменяем нулями).

На чем еще можно сэкономить время и избежать ошибок?

Например, для перевода большого двоичного числа в десятичную систему счисления можно использовать в качестве промежуточной восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления:

1100111012 = 110 011 1012 = 6358 = 5*80+3*81+6*82 = 5 + 24 + 384 = 413

1100111012 = 1 1001 11012 = 19D16= 13*160+9*161+1*162 = 13 + 144 + 256 = 413

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решим несколько задач по этой теме с использованием изложенных выше закономерностей.

Примечание. Так как любое число в нулевой степени равно единице, а любое число в первой степени равно самому числу, то при решении задач можно не писать степень в разряде единиц и десятков.

1. Переведите двоичное число 1110101 в десятичную систему счисления.

Решение:

11101012= 1 110 1012 = 1658 = 5+6*81+1*82 =5+48+64=117

Или:

11101012= 111 01012 = 7516 = 5+7*161=5+112=117

Ответ: 117

2. Переведите двоичное число 1100011 в десятичную систему счисления.

Решение:

11000112 = 110 00112 = 7316 = 3+6*161=3+96=99

Ответ: 99

3. Переведите число 135 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество единиц.

Решение:

135 = 128+4+2+1= 27 + 22 + 21 + 20

Ответ: 4

Заметим, что этот ответ получен без окончательного перевода числа в двоичную систему счисления, достаточно посчитать количество двоек в степенях. Это позволило сэкономить время решения задачи и избежать возможных ошибок при дальнейшей записи.

4. Переведите число 125 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество единиц.

Решение:

125 = 127 – 2 = 11111112 -102 = 11111012

Ответ: 6

5. Переведите число FE из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

Решение:

FE16 = 1111 11102 (используем запись тетрадами из таблицы «дружбы»).

Ответ: 11111110

6. Переведите число 143 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько значащих нулей содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество нулей.

Решение:

143 = 128+8+4+2+1 = 27 + 23 + 22 + 21 + 20,

то пропущены всего три (6, 5 и 4 степени двойки, которые при записи двоичного числа заполняются нулями.

Ответ: 3

7. Переведите число 305 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество единиц.

Решение:

305 = 256 + 32 + 16 + 1

(305-256=49, 49 - 32=17=16+1)

(т.к. в сложении участвуют всего 4 степени двойки, то результат будет содержать всего 4 единицы. Степени можно даже не писать)

Ответ: 4

8. Вычислите: 101010102 – 2528 + 716. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение: Для решения задач такого типа нужно сначала перевести все числа в одну систему счисления, а уже потом выполнять действия между ними.

Переведем первое число в восьмеричную систему счисления:

101010102 = 2528

Тогда получаем выражение: 2528 – 2528 + 716 = 716 = 710

Ответ: 7

9. Вычислите значение выражения B916 − 2718. В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.

Решение: Переведем первое число в восьмеричную систему счисления:

В916 = 1011 10012 = 10 111 0012 = 2718. Тогда 2718 - 2718 = 0.

Ответ: 0

10. Вычислите значение выражения EB16 − 3528. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение: Переведем первое число в восьмеричную систему счисления:

EB16= 111010112= 3528

Тогда разница между двумя исходными числами равна 1.

Ответ: 1

11. Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит 5 единиц. В ответе запишите только само восьмеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение: Наименьшее двоичное число, содержащее 5 единиц, равно 111112.

Но чтобы восьмеричное число было четырехзначным нужно, чтобы оно состояло из 4 триад (из 12 цифр). При этом первой цифрой двоичного числа обязательно должна быть 1 (два незначащих нуля в начале можно не писать), а остальные единицы будут занимать последние разряды числа. Тогда получаем:

001 000 001 1112 = 10178

Ответ: 1017

12. Найдите значение выражения 1116 + 118 : 112. Ответ запишите в двоичной системе счисления.

Решение: В таких задачах, где нужно выполнять быстро и без ошибок вычисления в различных системах счисления, а результат требуется получить в десятичной, то и решение быстрее и проще выполнить в десятичной системе счисления. Поэтому переводим туда все исходные числа и считаем:

1116 = 16+1 = 17

118 = 8+1 = 9

112 = 2+1 = 3

Тогда 17 + 9 : 3 = 20

20 = 16 + 4 = 24 + 22 = 101002

Ответ: 10100

13. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:

10001011, 10111000, 10011011, 10110100.

Сколько среди них чисел, больших, чем A416+208?

Решение: Для выполнения действий над числами, представленными в разных системах счисления, нужно сначала перевести их в наиболее удобную для вас систему счисления, и только потом решать задачу. Для меня наиболее удобной является восьмеричная система счисления:

100010112 = 2138, 101110002 = 5608, 100110112 = 2338, 101101002 = 2468

A416 = 101001002 = 2448, и 2448+208=2648.

Тогда из предложенных чисел подходит только второе число.

Ответ: 1

14. Запись числа 6910 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение: Для решения этой задачи используем две закономерности.

Во-первых, последней цифрой числа при переводе из одной системы счисления в другую всегда является первый остаток от деления числа на основание системы счисления, куда переводим. Тогда искомое основание N должно быть кратно 68 (69=х*N+1, то х*N=68): 2, 4, 7 и т.д. Во-вторых, по закономерности 4, получаем N3 ≤ 69 < N4.

Тогда при выполнении этих условий искомое число N будет равно 4.

Ответ: 4

15. В системе счисления с основанием N запись числа 4110 оканчивается на 2, а запись числа 13110 — на 1. Чему равно число N?

Решение: Т.к. в остатках чисел у нас есть цифры 2 и 1, то N ≤3. При этом N нужно найти число, кратное числам 39 и 130. Следовательно, N = 13.

Ответ: 13

16. В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 211? В ответе укажите число – основание системы счисления.

Решение: При переводе числа 211N в десятичную систему счисления получаем уравнение:

211N = 2*N3 + 1*N +1

Для перевода множителей 12 и 13 в десятичную систему счисления вспомним закономерность 1. Тогда 12N = N+2, 13N = N+3.

Следовательно, получаем уравнение:

 (N+2)(N+3) = 2*N2 + N +1

Корнями данного уравнения являются 5 и -1. Но т.к. основание системы счисления является натуральным числом, то N = 5.

Ответ: 5

17. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна.

Решение: По закономерности 4 получаем N2 ≤ 50 < N3.

Следовательно, нам нужно найти наименьшее число, куб которого больше 50.

Ответ: 4