Цель урока: Показать школьникам связь между физикой и математикой. На примерах показать, что рассмотрение парадоксов является способом доказательства некоторых утверждений, опровергнуть мнение о том, что математика - наука, доступная лишь избранным.
Парадоксы возникают не потому, что математика - заумная наука, а потому, что некоторые ошибочные представления считаются истинными.
Ход урока
Подготовка к уроку должна проводиться заблаговременно, так как главными действующими лицами являются ученики, которые разрабатывали эту тему. Именно эти ученики делают сообщения по ходу урока, ставят вопросы, подводят к нужной мысли, вместе с остальными учениками делают вывод.
Вступительное слово учителя:
Фрагмент фантастического рассказа:
Краткая предыстория: Три физика, выполняя некоторое исследование, случайно попадают в параллельную Вселенную. После серии приключений физики оказываются в секретной лаборатории, где знакомятся с ее сотрудниками. Естественно, возникает вопрос, как вернуться домой.
- «Вы нам поможете вернуться?»
- «Наша помощь лишь в том, чтобы не запретить Вам это сделать. Остальное зависит только от Вас. Переход между Вселенными чрезвычайно узок и возможен только на уровне микромира. Видите, пол заполнен разнообразными прямоугольными треугольниками. Вы должны выбрать один из треугольников и стать в вершинах этого треугольника. Система, которую мы запустим, преобразует Вас в объекты, неотличимые от материальных точек, если та конфигурация, которую Вы займете, реализуется в микромире, то система отыщет такую конфигурацию и через нее отправит Вас в свою Вселенную. Если же такой конфигурации не существует, то система будет ее искать вечно, и вы, фактически пропадете из обеих Вселенных. Риск очень велик».
Вопрос одного их гостей был продиктован надеждой свести риск к минимуму: «А Вы знаете, какой нужно выбрать треугольник?»
Ответ не принес никакой ясной информации: «Мы знаем только, что таких треугольников много, но какие именно - для нас загадка».
Наступила тишина. Тишину прервал голос физика-теоретика: «Ищите треугольник с острым углом, тангенс которого - рациональное число. «- «Почему?» - «Пока не знаю, но убежден, что именно такой треугольник нам нужен».
На уроке будет сделана попытка разобраться, прав физик-теоретик, или нет. И, если прав, то почему?
Выступление 1-го докладчика
Парадокс - это рассуждение, вывод которого находится в явном противоречии с ожидаемым результатом. Возникают парадоксы в связи с неверным представлением о самом явлении или с неверными действиями, вытекающими из заведомо ложных предпосылок.
Парадокс 1. Все треугольники - равнобедренные
Рассуждения:
Выберем произвольный треугольник ABC. Из вершины B проведем биссектрису, а из середины стороны AC проведем перпендикуляр к стороне AC, которые пересекутся в точке O. На замечание с места – «А если не пересекутся», можно спокойно ответить, что если не пересекутся, то биссектриса угла B совпадет с высотой треугольника, опушенной из вершины B, а треугольник, у которого высота совпадает с биссектрисой, является равнобедренным, и на этом доказательство заканчивается.
Соединим точку O с вершинами A и C. Из точки O опустим перпендикуляр OK на сторону BC и перпендикуляр ON на сторону AB.
ONB = OKB, так как оба треугольника прямоугольные, у них общая гипотенуза OB, и есть пара равных острых углов.
AOM = COM, так как эти треугольники - прямоугольные, один катет OM общий, а другие катеты AM и CM равны по длине, так как M - середина отрезка AC.
ANO = COK, так как эти треугольники прямоугольные, и ON=OK, OC=OA.
А теперь из того, что AN=KC и NB=BK, AB=BC, то есть треугольник АВС равнобедренный.
Доказательство проводится медленно, так, чтобы на каждом этапе учащиеся были согласны с очередным выводом.
Полученный результат противоречит обычным житейским наблюдениям. Поэтому учащиеся начинают искать выход из сложившейся ситуации. - «Наверное, точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра находится не вне треугольника, а внутри треугольника».
Такое предположение можно опровергнуть следующим рассуждением.
Пусть угол A больший из углов A и C. Пусть ВН - высота треугольника, опущенная из точки B. Тогда котангенс угла НВА равен отношению ВН к АН, а котангенс угла НВР равен отношению ВН к РН. Так как функция котангенс - убывающая, то AH > HP, значит биссектриса угла B пересекает AC в точке Р, лежащей между точками Н и M, а значит пересекает прямые МО и ВН по разные стороны от прямой AC, т.е. точка О находится в не треугольника.
После нескольких попыток найти объяснение, нужно подвести учащихся к мысли о том, что полученный результат явно неверен, так как существуют неравнобедренные треугольники. Неверный результат мог получиться только в результате неверных предположений, значит искать нужно именно неверное предположение. И таким неверным предположением является предположение о том, что перпендикуляры, опущенные на стороны из точки O, попадают внутрь боковых сторон треугольника.
Задача не казалась бы парадоксом, если бы была поставлена в таком виде:
Задан треугольник ABC, у которого сторона AB не равна по длине стороне BC. Из точки B провели биссектрису, а из середины стороны AC провели перпендикуляр к стороне AC. Пусть точка O - точка пересечения биссектрисы и перпендикуляра. Пусть m и n перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые (AB) и (CB). Тогда один из этих перпендикуляров опущен на сторону, а другой обязательно на продолжение стороны.
Доказательство: Попытаемся доказать методом «от противного». Пусть оба перпендикуляра опущены на стороны, тогда получим, что AB=CB, что противоречит начальному условию. Значит наше предположение неверно, поэтому один из этих перпендикуляров опущен на сторону, а другой обязательно на продолжение стороны.
Эту часть урока требуется подытожить. Задача с парадоксами возникает тогда, когда удается удачно замаскировать явно неверное предположение под истинное утверждение.
Однако задачи с парадоксами развивают не только внимательность. Многие задачи с парадоксами имеют глубокий философский смысл.
Выступление 2-го докладчика
В ящике A находится столько шариков, сколько существует натуральных чисел, и на каждом шарике написано одно из этих чисел, и это число является номером шарика. Кроме этого имеются пустые ящики B и C. Когда остается 1 минута до двенадцати часов из ящика A берется первый десяток шариков и перекладывается в ящик B, но тут же шарик с номером 1 перекладывается в ящик C. Когда остается 1/2 часть минуты до двенадцати часов из ящика A берется второй десяток шариков и перекладывается в ящик B, но тут же шарик с номером 2 перекладывается в ящик C. И вообще, когда остается 1/N часть минуты до двенадцати часов, где N – произвольное натуральное число, из ящика A берется N-й десяток шариков и перекладывается в ящик B, но тут же шарик с номером N перекладывается в ящик C. Сколько шариков будет ровно в 12 часов в ящике B?
Правильный ответ: ни одного. Доказательство: Пусть в 12 часов, а ящике B останется какой-нибудь шарик, тогда он имеет какой-то номер, пусть это номер T, с другой стороны, когда оставалось до 12 часов 1/T часть минуты, шарик с номером T был перемещен в ящик C. Получаем противоречие, так как один и тот же шарик не может находиться одновременно в двух ящиках. Значит, допущение о том, что в ящике B останется какой-то шарик, неверно, поэтому ровно в 12 часов ящик B будет пуст.
Тем не менее, несмотря на всю логичность доказательства, остается чувство, что что-то здесь не то. При каждом перекладывании в ящике B количество увеличивается на 9 шариков, и вдруг в 12 часов ящик оказывается пустым.
Это - парадокс. А значит, где-то была высказана явно неверная гипотеза, которая удачно замаскировалась под утверждение, которое не вызывает сомнения.
Желательно, чтобы сами школьники нашли такое утверждение, а для этого следует им задать несколько наводящих вопросов.
1. Сколько будет сделано перекладываний?
Ответ: столько, сколько существует натуральных чисел, то есть бесконечно много.
2. Сколько времени можно потратить на первое перекладывание?
Ответ: 30 секунд.
3. Сколько времени можно потратить на второе перекладывание?
Ответ: 10 секунд.
4. Сколько времени можно потратить на третье перекладывание?
Ответ: 5 секунд.
5. Что происходит со скоростью перекладываний с течением времени?
Ответ: скорость неограниченно возрастает.
6. Какое существует физическое ограничение на скорость.
Ответ: Скорость перемещения не может превысить скорость света.
И тут становится ясной неверная предпосылка. Объективно существует ограничение на скорость, а в условии задачи это ограничение игнорируется, в связи, с чем получается абсурдный ответ.
Физики экспериментально доказали, что скорость света - предельная скорость. Кстати, наша задача без всяких экспериментов показывает, что предельная скорость существует. Мы бы рассуждали так: Допустим, что предельной скорости нет. Тогда возможно бесконечное перекладывание шариков, как в задаче. При каждом перекладывании количество шариков в ящике B увеличивается на 9, а после всех перекладываний ящик будет пустым. Результат явно абсурдный, значит наше допущение неверно, поэтому существует какая-то предельная скорость.
А отсюда можно пойти еще дальше в понимании физического мира. Физики экспериментально доказали, что существует далее уже неделимая порция энергии, которую назвали квант энергии. Высказывались гипотезы, что все объективные сущности квантуются, в том числе и время. То есть предполагалось, что существует квант времени, и время, меньшее, чем квант времени, получить невозможно. Наш парадокс доказывает, что существует квант времени. Если бы время не квантовалось, то каково бы ни было время, нашлось бы перекладывание, которое можно совершить еще быстрее.
Выступление 3-го докладчика
А теперь парадокс, доказывающий существование кванта расстояния.
На расстоянии 100 метров друг от друга стоят две математические точки, которые стартуют в одном направлении, причем задняя точка имеет скорость в 10 раз большую, чем передняя. Когда задняя точка догонит переднюю.
Ответ: никогда.
Рассуждение: Когда задняя точка дойдет до того места, где находилась передняя, то передняя успеет сдвинуться на какое-то расстояние в положение 1.
Когда задняя точка дойдет до положения 1, передняя точка успеет сдвинуться в положение 2. Когда....
Так как положений столько же, сколько натуральных чисел, то есть бесконечно много, и при этом существует минимальное время (квант), за которое нужно совершить переход из положения N в положение N+1, то общее время сближения математических точек равно бесконечности.
А реально знаем, что вторая точка, конечно, обгонит первую. Чтобы выйти из этого противоречия, нужно принять тот факт, что существует минимальное расстояние между переходами, то есть квант расстояния. И расстояние, меньшее, чем квант, получить невозможно.
То есть квантуется и расстояние.
Остается подвести учащихся к следующим выводам.
- Если расстояние квантуется, то расстояние между любыми двумя объектами равно целому числу квантов.
- Если расстояние между любыми двумя объектами равно целому числу квантов, то три объекта могут быть вершинами только такого треугольника, у которого длина каждой стороны - целое число.
- Если этот треугольник прямоугольный, то длины всех сторон - целые числа.
- Если длины всех сторон - целые числа, то тангенс острого угла - рациональное число.
- Если тангенс острого угла - не рациональный, то длины катетов не могут быть целыми одновременно, а значит, такая конфигурация не может быть реализована в нашем физическом мире.
Заключительное слово учителя
Парадоксы, как правило, выглядят как бессмыслица. Однако отвергать их с ходу не стоит. Каков бы ни был парадокс, всегда найдется причина, из-за которой неверное рассуждение кажется правдоподобным. Рассмотрение наших парадоксов подтверждает гипотезу о квантовании времени и пространства.
В заключение урока выслушивается объяснение ученика, догадавшегося, почему был прав физик-теоретик, о котором рассказывалось в начале урока.