Квадратные уравнения. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений

Разделы: Математика


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, углубленное изучение свойств квадратных уравнений.

Образовательные цели урока: обеспечить закрепление теоремы Виета, обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах2 + вх + с = 0, в которых а+в+с=0; привить навыки устного решения таких уравнений.

Воспитательные цели урока: способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, развивать самостоятельность и творчество.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учащимся сообщаются задачи урока:

  1. Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило)
  2. Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
  3. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

2. Повторение пройденного материала.

1) Решить уравнение (работа у доски): 7х2 - 9х + 2 =0

Решение: D = в2 – 4ас, D = 25, х1 = , х2 = 1. Ответ: х1 = , х2 = 1.

2) Тест “ Квадратные уравнения”:

Вариант 1

  1. ... уравнением называется уравнение ах2 + вх + с = 0, где а,в,с – заданные числа, а 0, х – переменная.
  2. Уравнение х2 = а, где а > 0, имеет корни х1 = ...; х2 = ...
  3. Уравнение ах2 = 0, где а 0, называется ... .
  4. Уравнение ах2 + вх + с = 0, где а 0, в 0, называется ... квадратным уравнением.
  5. Если ах2 + вх + с = 0 - квадратное уравнение (а 0), то “в” называют ... коэффициентом.
  6. Корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х = ... .
  7. Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = ..., в = ..., с = ... .
  8. Если х1 и х2 - корни уравнения х2 + рх + q = 0, то справедливы формулы х1 + х2 =...; х1 * х2 = ...

Вариант 2

  1. Если ах2 + вх + с = 0 - квадратное уравнение, то а называют ... коэффициентом, с - ... членом.
  2. Уравнение х2 = а, где а < 0, не имеет ... .
  3. Уравнение ах2 + с = 0, где а 0, с 0, называется ... квадратным уравнением.
  4. Корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х1 = ... ; х2 = ... .
  5. Квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет два различных действительных корня, если в2 – 4ас ... 0.
  6. Квадратное уравнение вида х2 + рх + q = 0 называют ... .
  7. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна ... коэффициенту, взятому с ... знаком, а произведение корней равно ... числу.
  8. Если числа p, q, х1, х 2 таковы, что х1 + х2 = - Р; х1 * х2 = ..., то х1 и х2 - корни уравнения....

3. Задание на определение вида уравнения (устно).

Вопрос учащимся:

- Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

а)

1) 2х2 – х = 0,

2) х2 – 16 = 0,

3) 4х2 + х – 3 = 0,

4) 2х2 = 0.

б)

1) х2 – 5х + 1 = 0,

2) 9х2 – 6х + 10 = 0,

3) х2 + 2х – 2 = 0,

4) х2 – 3х – 1 = 0.

Ответ:

а) 3) – лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение; 1), 2), 4) – неполные квадратные уравнения.

б) 2) - лишнее, т.к. это уравнение общего вида; 1), 3), 4) – приведенные квадратные уравнения.

4) а) Вопрос учащимся:

- Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

(Oтвет: по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета)

- Сформулируйте теорему Виета. (отвечают ученики)

б) – Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ах2 +вх + с = 0?

(Ответ: заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением)

- А сейчас, ребята, послушайте стихотворение о теореме Виета:

ПО ПРАВУ ДОСТОЙНА В СТИХАХ БЫТЬ ВОСПЕТА
О СВОЙСТВАХ КОРНЕЙ ТЕОРЕМА ВИЕТА.
ЧТО ЛУЧШЕ, СКАЖИ ПОСТОЯНСТВА ТАКОГО:
УМНОЖИШЬ ТЫ КОРНИ – И ДРОБЬ УЖ ГОТОВА?
В ЧИСЛИТЕЛЕ “С”, В ЗНАМЕНАТЕЛЕ “а”,
А СУММА КОРНЕЙ ТОЖЕ ДРОБИ РАВНА.
ХОТЬ С МИНУСОМ ДРОБЬ, ЧТО ЗА БЕДА!
В ЧИСЛИТЕЛЕ “в”, В ЗНАМЕНАТЕЛЕ “а”.

4. Решение задач с использованием теоремы Виета.

1) Дано уравнение: х2 – 6х + 5 = 0.Не решая уравнения, найти:

1. Сумму корней,

2. Произведение корней,

3. Квадрат суммы корней,

4. Удвоенное произведение корней,

5. + =

6. Подобрать корни.

Класс выполняет задание в тетрадях. Учитель записывает ответы, полученные учащимися на даске.

2) Устно.

А) Найти сумму и произведение корней следующих уравнений:

№ п/п Уравнение Х1 + Х2 Х1 * Х2
1 Х2 – 3Х – 4 = 0    
2 Х2 – 9Х + 14 = 0    
3 2 – 5Х + 18 = 0    
4 2 + 15Х + 1 = 0    

Б) Для уравнений 1 и 2 найти подбором корни.

3)Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни.

(Перед выполнением задания учащиеся формулируют обратную теорему Виета)

А) Учитель сам решает задание, записанное на доске: Х1 = - 3, Х2 = 1.

х2 + рх + q = 0,

Х1 + Х2 = - 3 + 1= -2.

Х1 * Х2 = - 3 * 1= -3

х2 + 2х + (-3) = 0, р = 2, q = -3;

Ответ: х2 + 2х -3 = 0.

Б) Самостоятельная работа в четырех вариантах (с проверкой в классе):

  • 1 вариант: Х1 = 5, Х2 = 6.
  • 2 вариант: Х1 = - 5, Х2 = 6.
  • 3 вариант: Х1 = 5, Х2 = - 6.
  • 4 вариант: Х1 = - 5, Х2 = - 6.

Ответ: 1. х2 - 11х +30 = 0; 2. х2 - х -30 = 0; 3. х2 + х -30 = 0; 4. х2 + 11х +30 = 0.

5. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

– Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решенияя. Который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

Устно. Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

1 х2 - 5х + 1 = 0 1 – 5 +1= -3
2 2 - 6х + 10 = 0 9 – 6 + 10 = 13
3 х2 + 2х - 2 = 0 1 + 2 – 2 = 1
4 х2 - 3х -1 = 0 1 – 3 – 1 = - 3

При решении некоторых квадратных уравнений, немаловажную роль играет сумма коэффициентов! Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома.

Проверка домашнего задания. Применение решения к изучению нового свойства.

(На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома)

х2 + х -2 = 0 Х1 = 1, Х2 = - 2. Сумма коэффициентов 0
х2 + 2х -3 = 0 Х1 = 1, Х2 = - 3. Сумма коэффициентов 0
х2 - 3х + 2 = 0 Х1 = 1, Х2 = 2. Сумма коэффициентов 0
2 - 8х + 3 = 0 Х1 = 1, Х2 =. Сумма коэффициентов 0

- Ребята, а сейчас посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти какую-то закономерность:

  • В корнях этих уравнений;
  • В соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;
  • В сумме коэффициентов.

Ученики отвечают:

  • Первый корень равен 1;
  • Второй корень равен “с” или ;
  • Сумма коэффициентов равна 0.

Вывод: если в уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то один из корней равен 1, а другой (по теореме Виета) равен (если а=1, то Х1 = 1, Х2 = с).

Это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений.

Рассмотрим это примере: Решить уравнение  7х2 - 9х + 2 = 0.

7 – 9 + 2 = 0, Х1 = 1, Х2 =.

6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Решить уравнения:

Вариант 1

х2 + 23х - 24 = 0;

2 + х - 3 = 0;

-5х2 + 4,4х + 0,6 = 0;

х2 +2 х - 3 = 0.

Вариант 2

х2 + 15х - 16 = 0;

2 + х - 6 = 0;

-2х2 + 1,7х + 0,3 = 0;

х2 + 3 х - 4 = 0.

7. Задание на дом:

  1. Придумать три уравнения, в которых а + в + с = 0.
  2. Повторить п.19, 21, 23.
  3. №546 (а, б)

8. Рефлексия.

17.12.2015