| Тип: | изучение нового материала. |
| Цели: | Образовательные: ввести понятия
функции распределения случайной величины,
непрерывной случайной величины, плотности
распределения. Развивающие: показать применение определенного интеграла к задачам теории вероятностей, дать представление об определенном интеграле с бесконечными пределами интегрирования, развивать логическое мышление, умение обобщать полученные знания. Воспитательные: развивать внимание, аккуратность, умение вести дискуссию. |
| Оборудование: | компьютер, проектор или интерактивная доска. |
Ход урока
I. Оргмомент. Тема, цели, план урока.
II. Повторение. Геометрическая вероятность.
Задача 1. На круг радиуса R случайным образом бросается точка.
Найдите вероятность того, что точка попадет в закрашенное кольцо.
Решение.
Задача 2. На круговую мишень случайным образом бросается точка.
Значения случайной величины X – количество очков, выбитое при попадании в определенный круг мишени. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины X. Радиусы окружностей на мишени 10 см, 20 см и 30 см.
Решение.
X 1 2 3 PX 5/9 1/3 1/9
III. Функция распределения.
Некоторые свойства функции распределения:
Задача 3. Постройте функцию распределения для случайной величины из задачи 2.
Решение.
IV. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения.
Некоторые свойства плотности распределения:
Пример непрерывной случайной величины. Для
случайного опыта из задачи 2 рассмотрим
случайную величину R – расстояние от точки,
брошенной на мишень, до центра мишени. Величина R
принимает все значения из промежутка 
.
Задача 4. Найти плотность распределения для случайной величины R.
Решение. Вероятность попадания точки в
кольцо с внутренним радиусом a см и внешним
радиусом b см равна 
. Из таблицы интегралов для
элементарных функций и формулы Ньютона-Лейбница
нам известно, что 
. Сравнивая два этих выражения и
используя свойства интегралов, заключаем, что
искомая плотность распределения равна 
при 
и 
вне этого промежутка.
V. Домашнее задание.
Задача 5. Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием двух кубиков и случайную величину M – максимальное из двух чисел на кубиках. Постройте функцию распределения для величины M.
Решение.
| M | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| PM | 1/36 | 1/12 | 5/36 | 7/36 | 1/4 | 11/36 |
Задача 6. На числовой отрезок [2;5] случайным образом бросается точка. Найдите плотность распределения для случайной величины X – координаты точки.
Решение. Вероятность попадания точки на
отрезок [a;b] (
) равна 
.
Из таблицы интегралов для элементарных функций и
формулы Ньютона-Лейбница нам известно, что 
. Сравнивая два
этих выражения, заключаем, что искомая плотность
распределения равна 
при 
и вне этого
промежутка.
VI. Итог урока.
- Что такое функция распределения случайной величины?
- Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.
- Что такое плотность распределения случайной величины?