"Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии". 10-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (16,6 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

  • Образовательные
    • способы задания последовательностей
    • формула n-го члена последовательности
    • предел последовательности,
    • сумма бесконечной геометрической прогрессии
    • понятие фрактальной геометрии
  • Развивающие
    • выработка умения подмечать закономерности, проводить рассуждения;
    • формировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации;
    • выявлять взаимосвязи различных разделов математики
    • формировать творческое мышление
  • Воспитательные
  • воспитание умения математически исследовать явления реального мира.
  • воспитывать интерес к математике, к истории развития математики

ХОД УРОКА

Актуализация знаний учащихся


3)      Разделите на три равные части и удалите середины каждого из двух оставшихся отрезков.

4)      Выполните это преобразование еще 2 раза. Дальнейшее деление отрезка неудобно для выполнения. (Слайд 2)

5)      Просмотр видео из интернета [5] с 15:41  до  16:10 (О множестве Кантора).

О фрактальной геометрии

Рассмотренный нами пример иллюстрирует так называемое Канторово множество (Пыль Кантора) – простейший фрактал, описанный Георгом Кантором (1845-1918) – немецким математиком в 1883 году. [3, 4]
Слово фрактал в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено американский математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения самоподобных структур, которыми он занимался. (Слайд 3)
По нестрогому определению Мандельброта, фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Это свойство объектов Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты – фракталами (от латинского fractus – изломанный).

Продолжение Исследования 1

Определение предела последовательности


Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Исследование 2

 Широко известно семейство самоподобных фракталов польского математика Вацлава Серпинского. Первый из этих фракталов – «салфетка Серпинского» – появился в 1915 году, задолго до появления фрактальной геометрии. Пусть начальным множеством является равносторонний треугольник. (Слайд 5). Разобьем его на 4 области, соединив середины сторон исходного треугольника отрезками. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующую итерацию (Рис. 2).

Рис. 2

Продолжая этот процесс до бесконечности, образуем множество, которое и является салфеткой Серпинского.  Считаем площадь исходного треугольника равной 1. Заметим, что площади удаленных треугольников образуют геометрическую прогрессию, (Слайд 5)
Применяя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, имеем: площадь суммы удаленных треугольников равна исходному треугольнику. А значит, площадь салфетки Серпинского равна 0. [4]

Самостоятельная работа

1) По вариантам № 25.1(а, б), 25.2(а, б), 25.3(а, б), 25.5(а, б), 25.9 (а, б),

2) Вычислите сумму удаленных частей площадей для фигур, изображенных на Рис.3 (Слайд 6), приняв исходную площадь за 1.

Рис. 3

Разбор заданий из второй части самостоятельной работы


2) Изображение приобрело вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями. Оно известно, как кривая Коха, по имени шведского математика Х. фон Коха, впервые описавшего подобный феномен в 1904 г. Кривая Коха произвела очень сильное впечатление на математиков своего времени и была прозвана математическим монстром. Было непонятно, как к ней применить законы Евклидовой геометрии. Английский метеоролог и естествоиспытатель Льюис Фрай Ричардсон, занимавшийся измерением длины береговой линии, исследовав невероятную “снежинку” Коха, обнаружил, что она обладает тем же свойством “безразмерности” (Слайд 10). [4]

3) Просмотр видео [5] с 30:20 до 33:55 (О фрактальной форме антенн).

Визуальное представление свойств сходящихся последовательностей

Бенуа Мандельброт работал в IBM и при помощи компьютера мог выполнять бесконечные итерации (многократно повторяющиеся циклы вычислений), необходимые для построения математических монстров. Он занялся решением задачи французского математика Гастона Жюлиа.

Оказалось, что числа, которые получаются в результате преобразования Жюлиа, либо стремятся к нулю, либо стремятся к бесконечности. Будем считать окрестностью числа 0 окружность единичного радиуса.  Если построить на координатной плоскости множество таких точек, то можно добиться интересных цветовых решений, задавая точке тот или иной цвет в зависимости от скорости попадания в ловушку. (Слайд 11)

При помощи компьютера Мандельброт проделал миллионы итераций и получил миллионы таких чисел. Затем эти числа он изобразил графически. Построенное таким образом множество Мандельброта стало эмблемой фрактальной геометрии. [5]. При наличии времени демонстрируется работа компьютерной программы по построению множеств Жюлиа и Мандельброта. (Рис.5 программа на PascalABC).

Подведение итогов урока

Задание на дом:

§24, 25, № 24.8, 25.4, 25.9, 25.11

Источники информации:

  1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
  3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Кантор,_Георг
  4. Гринченко В.Т., Манцыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. – М.: Издательство ЛКИ, 2010.
  5. Фракталы. Поиски новых размерностей / Fractals. Hunting The Hidden Dimension

Приложение 1

11.03.2014