Урок математики по теме "Метод интервалов для непрерывных функций". 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11


Цели урока:

Обучающие:

  • обобщить ранее изученный материал о решении неравенств методом
    интервалов; возможность применения метода интервалов для
    решения неравенств различного типа;
  • выработка умений и навыков в решении неравенств различного типа
    методом интервалов;
  • решение трансцендентных неравенств, с использованием метода рационализации.

Развивающие:

  • повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них
    положительный мотив учения;
  • развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

Воспитательные:

  • формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;
  • развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Повторение и актуализация опорных знаний.
  3. Решение неравенств методом интервалов.
  4. Подведение итогов. Задание на дом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение и актуализация опорных знаний.

Обобщенный метод интервалов.

  1. Применимость метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.
  2. Применяя метод интервалов к решению иррациональных, трансцендентных, комбинированных неравенств, говорим об обобщенном методе интервалов.

Алгоритм обобщенного метода интервалов:

  1. Привести неравенство к виду . Рассмотреть функцию .
  2. Найти область определения функции .
  3. Найти нули функции , решив уравнение
  4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
  5. Определить знаки функции на промежутках, входящих в область определения функции.
  6. Записать ответ, включив в него промежутки в соответствии со знаком неравенства (не забыть включить в ответ изолированные точки).

Метод рационализации.

  • Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство  равносильно неравенству  в области определения выражения F(x) .

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G.

Выражение F(x) Выражение G(x)
loghf - loghg (h – 1)(f – g)
logfh - loggh (f – 1)(g – 1)(h – 1)(g – f)
hf - hg  (h – 1)(f – g)
fh - gh  (f – g)h
| f | - | g | (f – g)(f + g)
loghf · logpg (f – 1)(g – 1)(h – 1)(p – 1)
  f- g

III. Решение неравенств методом интервалов

Каждое задание решает группа учащихся. Затем один из группы записывает решение на доске и поясняет его.

1) Решить неравенство

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

  1. Рассмотрим функцию
  2. Найдем область определения функции  
  3. Найдем нули функции:   
  4. Определим знаки функции на каждом из промежутков

Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

2) Решить неравенство

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

  1. Рассмотрим функцию
  2. Найдем область определения функции  
  3. Найдем нули функции:  ,
  4. Определим знаки функции на каждом из промежутков

Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

3) Решить неравенство

Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации:

 

Окончательно получаем,что решением являются все х такие, что

Ответ:

4) Решить неравенство

Воспользуемся методом интервалов:

  1. Рассмотрим функцию
  2. Найдем область определения функции   
  3. Найдем нули функции:   
    На промежутке  лежат числа:
  1. Определим знаки функции на каждом из промежутков

Множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

5) Решить неравенство 

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

  1. Рассмотрим функцию
  2. Найдем   
  3. Найдем нули функции:      
         
  4. Определим знаки функции на промежутках:

Множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

6) Решить неравенство

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

  

  1. Рассмотрим функцию
  2. Найдем область определения функции  
  3. Найдем нули функции:     
  4. Определим знаки функции на промежутках:

Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

7) Решить неравенство

  

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

  1. Рассмотрим функцию
  2. Найдем область определения функции  
  3. Найдем нули функции:      
  4. Определим знаки функции на промежутках:

, следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

IV. Подведение итогов. Задание на дом

Выводы, оценки.

  1. Решить неравенства:
    а) , б)
    в)  г)

  2. Дополнительно (на оценку):
    а)  б)