В современном обществе человек должен уметь не только решать задачи и выполнять математические действия, но и уметь анализировать окружающий мир. Все большую популярность приобретают нумерология, “игры с числами”. Необходимо уметь отличать выдумки и манипуляции с числами от реальных математических приложений и описаний.
Воспитанию и развитию таких качеств и способностей у учащихся в значительной мере содействует их участие в творческой деятельности. Подготовка сообщения способствует знакомству с литературой по избранной теме, создает возможность использовать приобретенные навыки работы с источниками, развивает самостоятельность мышления, умение на научной основе анализировать явления деятельности и делать выводы. Сообщение является первой из форм изучения литературы, предваряя углубленное изучение первоисточников, применение полученных знаний к анализу.
Цель урока: рассмотреть числа Фибоначчи и спираль Архимеда и их применение
Задачи:
образовательные:
- Расширение кругозора детей за счет использования знаний межпредметных областей.
- Формирование первичных представлений об идеях и методах математики, как форме описания и методе познания действительности.
развивающие:
- Развитие логического и аналитического мышления.
- Развитие умения четко выражать и формулировать свои мысли.
воспитательные:
- Воспитание умения работать в коллективе: выслушивать мнение других обучающихся и отстаивать свою точку зрения.
Методы обучения: словесный, наглядный, деятельностный
Формы обучения: групповая.
Средства обучения (в том числе технические средства обучения): Доска, компьютер, мультимедийный проектор, экран, микрокалькуляторы.
В результате обучения обучающиеся должны знать и уметь:
– строить спираль Архимеда (примерную модель) по квадратам;
– записывать ряд Фибоначчи;
– знать свойства ряда Фибоначчи;
Группа обучающихся делится на 3 более мелкие группы: “Историки”, “Математики”, “Математики 2”, каждая группа предварительно получила домашнее задание – сделать сообщение по теме на 3 -5 минут:
1 группа. Леонардо Фибоначчи и его математические открытия
2 группа. Как был составлен ряд Фибоначчи
3 группа. Спираль Архимеда
Содержание занятия
1. Вступительное слово учителя
Сегодня на занятии мы поговорим о числах Фибоначчи и спирали Архимеда и их проявлении в окружающем мире.
2. Группа “Историки” рассказывает о жизни Леонардо Фибоначчи и его научных достижениях (слайды 1-4)
Леона?рдо Пиза?нский родился в Пизе около 1170, в семье торговца. Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.
Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся “Книге абака” (Liber abaci, 1202). До наших дней сохранилась только дополненная рукопись, выполненная в 1228 г. Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.
Достижения и открытия Л. Фибоначчи:
– введение арабских цифр
– составление возвратного ряда, приводящего к последовательности чисел Фибоначчи
– подробное объяснение и разработка действий над обыкновенными дробями
– объяснение на числовых примерах способов приближённого извлечения квадратного и кубического корней
– собрал ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения.
“Книга абака” резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII—XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения.
Хотя Леонардо Пизанский и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи – это статуя напротив Пизанской башни через реку Арно и две улицы, которые носят его имя, одна – в Пизе, а другая – во Флоренции.также бали выпущены почтовые марки с его изображением.
3.
Выступление группы “Математики” (слайды 5-6)Л. Фибоначчи рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что: в “нулевом” месяце имеется пара кроликов (1 новая пара), в первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара), во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары, в третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Эта математическая модель динамики популяций приводится в книге "Трактат о счете" "Liber abaci", датированной 1202 годом.
4. Выявление свойств ряда Фибоначчи.
Ребята выстраивают ряд Фибоначчи, используя свойство: сумма любых двух соседних чисел равна следующему числу в последовательности. Обучающимся предлагается с помощью микрокалькулятора выполнить:
Группа 1: деление числа последовательности к следующему;
Группа 2: деление любого числа ряда к предыдущему;
Группа 3: деление любого числа к следующему за ним через одно.
При продолжении этого процесса ребята делают вывод о том, к какому числу “стремятся” полученные результаты. По окончании выполнения задания ребята приходят к следующим выводам:
- Отношение любого числа последовательности к следующему приближается к 0,618 (после первых четырех чисел).
- Отношение любого числа к предыдущему приблизительно равно 1,618 (величина обратная 0,618).
- Отношение любого числа к следующему за ним через одно приближается к 0,382, а к предшествующему через одно – 2,618.
5. Выступление группы “Математики 2” (слайды 7,8)
Архимед родился в Сиракузах, греческой колонии на острове Сицилия. Отцом Архимеда был математик и астроном Фидий. Отец привил сыну с детства любовь к математике, механике и астрономии. Для обучения Архимед отправился в Александрию Египетскую. По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре.
Учащиеся выстраивают спираль приблизительно, используя метод квадратов, используя ряд Фибоначчи.
6. Числа Фибоначчи и спираль Архимеда в биологии (слайды 9-13)
Ребятам предлагается сделать предположения о том, где можно увидеть спираль Архимеда в природе. Выдвинутые предположения рассматриваются и обсуждаются совместно. Для облегчения этого процесса обучающимся предлагаются слайды с подобранными изображениями.
Вниманию обучающихся предлагается для просмотра фильм “Природа в числах”.
7. Числа Фибоначчи и спираль Архимеда в других сферах. (Слайды 15-19)
Информация, предоставляемая учащимся по данным слайдам зависит от их возраста и объема имеющихся знаний. Ниже приведена примерная схема рассказа. Учащимся предлагается высказать свое мнение о данном приложении ряда Фибоначчи и спирали Архимеда
Слайд 15. Ральф Нельсон Эллиот (1871—1948) начал свою карьеру инженером, а не профессиональным аналитиком рынка. Оправившись от тяжелой болезни в 30-х годах, он переключил свой интерес на анализ цен акций, сосредоточившись на Индексе Доу-Джонса. После нескольких успешных прогнозов в 1939 году Эллиот опубликовал ряд крупных статей в журнале "Файнэншл уорлд" (Financial World), в которых впервые показал, что Индекс Доу-Джонса движется в определенном ритме.
Рыночная теория Эллиота основана на следующем факте: каждое явление на нашей планете движется по тому же принципу, что и приливы: за приливом следует отлив, за действием — противодействие. Время не влияет на эту схему, потому что структура рынка в своей полноте остается постоянной.
Вопрос обучающимся: Как вы думаете верно ли данное приложение ряда Фиббоначчи?
Ответ: частично. На наиболее сложных стадиях рынкадаже для очень опытных последователей Эллиота почти невозможно применять все правила волновых фигур Эллиота в торговле в режиме реального времени.
Слайд 16. В 1766 году немецкий астроном и математик Иоганн Тициус заявил, что выявил простую закономерность в нарастании радиусов околосолнечных орбит планет. Он начал с последовательности 0, 3, 6, 12, ..., в которой каждый следующий член образуется путем удвоения предыдущего (начиная с 3; то есть 3 ? 2n, где n = 0, 1, 2, 3, ...), затем добавил к каждому члену последовательности 4 и поделил полученные суммы на 10. В итоге получились весьма точные предсказания (см. таблицу) расстояний известных на то время планет Солнечной системы от Солнца в астрономических единицах (1 а. е. равна среднему расстоянию от Земли до Солнца).Как оказалось, значения близки к ряду Фибоначчи, но между орбитами Марса и Юпитера, должна быть планета. Первую малую планету, обращающуюся по орбите между Марсом и Юпитером, открыли не они, а итальянский астроном Джузеппе Пиацци (Guiseppe Piazzi, 1746–1826), и произошло это не когда-нибудь, а в новогоднюю ночь 1 января 1801 года, и открытие это ознаменовало наступление ХIX столетия. Новогодний подарок оказался удален от Солнца на расстояние 2,77 а. е. Однако диаметр этого космического объекта (933 км) явно не позволял счесть ее искомой крупной планетой. Однако в течение всего нескольких лет после открытия Пиацци было обнаружено еще несколько малых планет, которые назвали астероидами, и сегодня их насчитывается много тысяч.
Вопрос обучающимся: Как вы думаете, верно ли данное приложение ряда Фиббоначчи?
Ответ: нет. Тициус, иего последователь Боде искренне пытались отыскать математическую закономерность в строении Солнечной системы — и ученые продолжали и продолжают заниматься поисками подобного рода. Проблема в том, что ни тот, ни другой не пошли дальше игры чисел и не попытались отыскать физическую причину того, почему орбиты ближних планет подчиняются подмеченной ими закономерности. А без физического обоснования “законы” и “правила” подобного рода остаются чистой нумерологией — и, как показывают имеющиеся сегодня данные, весьма некорректной нумерологией.
Слайд 17. Мексиканские пирамиды построены в соответствии с пропорциями золотого сечения. На поперечном сечении пирамиды видна форма, подобная лестнице. В первом ярусе 16 ступеней, во втором 42 ступени и в третьем – 68 ступеней. Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим образом:
16 x 1.618 = 26, 16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42, 42 + 26 = 68
Вопрос обучающимся: Как вы думаете, верно ли данное приложение ряда Фиббоначчи?
Слайд 18. Основную массу во Вселенной составляют спиралевидные Галактики: их около 75%, эллиптических -– 20%.
Вопрос обучающимся: Как вы думаете, верно ли данное приложение спирали Архимеда?
Ответ: да.
Слайд 19. Многих архитекторов очаровывала красота спирали Архимеда. Они пытались создать башни, здания, городские кварталы на её основе. Сейчас существует несколько таких компьютерных моделей.
Вопрос обучающимся: Как вы думаете, верно ли данное приложение спирали Архимеда?
Ответ: частично. Представлена лестница в одном из египетских отелей. Но она не полностью соответствует математическому построению.
8. Выводы.
Подводятся итоги занятия. Ряд Фибоначчи присутствует во многих природных формах и связан со многими областями математики. На следующем занятии мы продолжим изучение темы и выявим связь ряда Фибоначчи с золотым сечением.
Список литературы
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), том II, М., Наука, 1972, стр.260-267.
- Карпушина Н. “Liber abaci” Леонардо Фибоначчи, Математика в школе, № 4, 2008.
- Энциклопедия для детей. Математика. Т. 11. “Аванта+”, М.:-2000
- Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А. П. Савин.-М.: Педагогика, 1989.-352 с: ил.
- http://znaniya-sila.narod.ru/universe/uni001_01.htm
- http://elementy.ru/trefil/21221
- http://www.help-on-forex.com/fibo8.html