Урок математики по теме "Преобразования плоскости". 9-й класс

(Информационный проект систематизации и обобщения знаний по преобразованию плоскости)

Введение.

Из курса алгебры учащиеся уже знакомы с преобразованиями плоскости, которые использовались для построения графиков различных функций: параллельный перенос вдоль оси абсцисс и ординат, осевая и центральная симметрии, сжатие и растяжение графиков. Данные преобразования значительно упрощают построение графиков функций. Также ряд задач по геометрии может быть решен существенно проще, если использовать метод преобразования.

Следовательно, необходимо знания учащихся по преобразованию плоскости обобщить, систематизировать и перенести на геометрические задачи.

• Создать условия для самостоятельной работы учащихся по систематизации и расширению знаний по преобразованиям плоскости.

• Получить необходимую сумму теоретических знаний по данной теме;
• Осознать возможности использования преобразований плоскости для решения геометрических задач.

• Рассмотреть общие положения теории преобразования плоскости;
• Выделить основные преобразования являющиеся движением;
• Определить группы симметрии фигур;
• Ответить на вопрос: "Всякое ли преобразование плоскости является движением?"
• Показать возможности и преимущества использования преобразований в решении задач.

I. Погружение в проект

На данном этапе учащиеся знакомятся с определением отображения плоскости на себя и определением движения (Технология проблемно-диалогического обучения)

См. таблицу.

II. Работа над проектом.

На втором этапе класс разбивается на 8 групп (по3- 4 человека в каждой, в зависимости от уровня подготовки учащихся). Каждой группе определены вопросы для исследования (в зависимости от уровня подготовки учащихся). Данная работа проводится учащимися во внеурочное время в течение 5-6 дней. Учитель консультирует группы. Результатом работы является компьютерная презентация по рассматриваемому группой вопросу.

• I -группа. Свойства движения.
• II-группа. Центральная симметрия
• III-группа. Осевая симметрия.
• IVгруппа. Параллельный перенос.
• Vгруппа. Поворот.
• VI группа. Подобие.
• VII группа. Гомотетия.
• VIIIгруппа. Инверсия

Вопросы, для рассмотрения в группах (Формулируются при совместном обсуждении)

1. Дать определение рассматриваемому преобразованию;
2. Сформулировать и доказать основные свойства;
3. Построить образ фигуры в данном преобразовании;
4. Рассмотреть дополнительные свойства фигур при данном преобразовании;
5. Определить является ли данное преобразование движением?

IV. Примеры задач, решаемые с помощью преобразований

Внутри острого угла дана точка А. Постройте треугольник АВС наименьшего периметра, вершины В и С которого лежат на сторонах угла.

Предположим, что искомый треугольник АВС построен

рис.1

Построим точки А₁ и А₂ симметричные точке А относительно прямых m и n соответственно, тогда Р_?АВС=АВ+ВС+АС=ВА₁+ВС+СА₂ , таким образом, периметр треугольника равен длине ломаной А₁ВСА₂. Эта длина наименьшая, когда точки В и С лежат на отрезке А₁А_2.Отсюда вытекает построение.

Строим точки А1 и А2 симметричные А относительно прямых m и n, В и С точки пересечения отрезка А1А2 и прямых m и n, треугольник АВС - искомый, решение единственно.

Дан правильный треугольник. Для какой точки плоскости сумма расстояний от этой точки до вершин треугольника принимает наименьшее значение?

(Для решения задачи необходимо рассмотреть поворот на угол в 60⁰ относительно искомой точки Р)

Построить равносторонний треугольник с вершинами на трех параллельных прямых.

(Для решения на одной из прямых необходимо отметить точку и повернуть другую прямую вокруг этой точки на угол 60⁰)

В каком месте надо построить мост MN через реку, разделяющую деревни А и В, так, чтобы дорога AMNB между деревнями была самой короткой? (Берега реки считаются параллельными, а мост перпендикулярным к ним)

(При решении задачи используем параллельный перенос. Мост MN следует построить так, чтобы точка N была точкой пересечения прямой А₁В₁ и ближайшего к деревне В берега реки, где А₁- точка, в которую переходит точка А при параллельном переносе на вектор )

рис.3

Список используемой литературы

1. В.А. Кирзимов, Е.М. Белоногова "Преобразование плоскости", Москва -2000;

2. В.В.Амелькин, В.Л. Рабцевич, В.Л. Тимохович, " Геометрия на плоскости". Москва "Издательский дом "ОНИКС 21 век" 2003год.

3. А. В. Никулин, А.Г. Кукуш, Ю.С. Татаренко "Планиметрия. Геометрия на плоскости" (Библиотека школьника - учебное пособие) под общей редакцией Ю.С. Татаренко ВИСАГИНАС АЛЬФА 1998 год.

4. В.В. Прасолов "Задачи по планиметрии" Часть 2 Москва "Наука" 1991 год.