Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов

Кудрявцев Сергей Владимирович, учитель математики

Разделы: Математика

Цель урока:

Повторить ранее изученный теоретический материал, изучить теорему косинусов и её следствия, учить делать теоретические обобщения.
Развивать логику мышления при решении специально подобранных задач.
Воспитывать потребность в доказательстве высказанной гипотезы.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Ход урока

I. Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

(Фронтальная работа с классом)

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис.1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны длины катетов a и b.
Рис.1. Как найти катет a, если известны длина гипотенузы c и В.
Рис.1. Как найти катет b, если известны длина гипотенузы с и А.
Чему равен квадрат расстояния между точками А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂).
Рис. 2. Найти координаты точки A, если OA = a и угол между положительной полуосью OX и лучом OA равен .
Рис. 3. a | | b. Что вы можете сказать об углах 1 и 2. Односторонние, 1 +2 = 180° . Если 2 = , тогда 1 = 180° -
Чему равны: sin(180° - ) = ? cos(180° - ) = ?

III. Изучение нового материала.

Учащимся предлагается задача на готовом чертеже. Теорема синусов для решения этой задачи не подходит, поскольку из трех известных элементов треугольника не известны сторона и противолежащий угол.

Первый способ решения задачи. (Устно)

Дано:

ABC,

AC = b, AB = c.

__________________

Найти:

BC = a = ?

Проведём CH – высоту.

1) Прямоугольный ACH:

AH = bcosA, CH =

или CH = bsinA

BH = AB – AH.

CB² = a² = CH² + BH²

a = .

Рис. 4

Второй способ решения задачи. Координатный метод.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату.

Решение записывают все учащиеся.

2. Запишем координаты точек: B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).

3. Найдём квадрат стороны BC:

BC² = a² = (bcosA - c)² + (bsinA)² =
= b²cos²A – 2bccosA + c² + b²sin²A =
= b²(cos²A + sin²A) + c² – 2bccosA =
= b² + c² – 2bccosA.

a² = b² + c² – 2bccosA – теорема косинусов
b² = a² + c² – 2accosB
c² = b² + a² – 2abcosC

Рис. 5

Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.

Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.

Если С = 90°, то cosC = 0 и 2abcosC = 0, тогда c² = a² + b².

Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов.

1 следствие.
Дано: ABC AC = b, AB = c, AH = bc __________________ Найти: a	Решение: Возможны 2 случая: а) A – острый, то cosA > 0, б) A – тупой, то cosA < 0, а) Если A – острый, тогда по теореме косинусов a² = b² + c² – 2bccosA	Рис. 6
	В прямоугольном ACH: bc = bcosA. Так как A – острый, то cosA > 0, тогда a² = b² + c² – 2bcc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой рассмотреть самостоятельно. Следующий урок начнём с проверки этого задания. (т.к. cosA < 0, то a² = b² + c² + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.
2 следствие.
Дано: ABCD – параллелограмм, AB = CD =a, BC = AD = b. __________________ Найти: d₁² + d₂² .	Решение: ABC: d₁² = a² + b² – 2abcosB. ABD: d₂² = a² + b² – 2abcosA = a² + b² – 2abcos(180° - B) = a² + b² + 2abcosB. d₁² + d₂² = a2 + b2 – 2abcosB + a² + b² + 2abcosB = a² + b² + a² + b². d₁² + d₂² = 2 a² + 2 b².	Рис. 7
	Вывод: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3 следствие.
Дано: ABC, AB = c, AC = b, BC = a. __________________ Найти: m_a	Решение: Достроим ABC до параллелограмма ABA₁C. AA₁² + BC² = 2b² + 2c² . BC = a, 2m_a = AA₁. (2m_a)² + a² = 2b² + 2c² 4m_a² = 2(b² + c²) – a² m_a² = m_a = m_b = m_c =	Рис. 8
	Вывод: В любом треугольнике со сторонами a, b и c длины медиан m_a, m_b, m_c вычисляются по формулам: m_a = , m_b = , m_c = .