Методы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика


Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Цели урока:

  • Образовательная: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений; рассмотреть решение тригонометрических уравнений различными методами: методом замены переменных, разложения на множители, формировать умения применять изученные методы к решению уравнений
  • Развивающая: развитие познавательной активности, сознательного восприятия учебного материала
  • Воспитательная: воспитание интереса к предмету, самостоятельности, упорства в достижении цели

Задачи урока: учить применять различные приемы для решения тригонометрических уравнений

Оборудование: интерактивная доска SMART Bоаrd с необходимым программным обеспечением компьютер, сканер

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие. Объявление темы и целей урока. Ребята, надеюсь, вы в хорошем настроении? Знаете, однажды французский писатель Анатоль Франс заметил: “ Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам при сдаче экзаменов.

II. Проверка домашнего задания (сверяем по образцу: выводим на экран отсканированную работу одного из учеников)

III. Актуализация опорных знаний

1. Устный опрос(фронтально):

а)Какие простейшие тригонометрические уравнения мы знаем?

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a

б) Как решаем эти уравнения?

Повторение материала проводится по таблице (есть на интерактивной доске)

 

sin x = a

cos x = a

tg x = a

ctg x = a

>1

решений нет

решений нет

х = arctg a+n, nZ

х = arcctgan, nZ

<1

x = (–1)narcsina + р n, n Z

x = ± arccosa +2 р n, nZ

a = 1

х = + 2р n, nZ

x = 2р n, nZ

х = n, nZ

x=n, nZ

a= –1

x = – + 2р n, nZ

x= р +2р n, , nZ

х = – n, nZ

x=n, nZ

a = 0

x = р n, nZ n,

x=+2р n, , nZ

x = р n, nZ

x=+ рn,nZ

в) Повторяем определения:

Арксинусом числа а называется число b, b [– ; ], sin b = a

Арккосинусом числа а называется число b, b [0; ], cos b = a

arcsin(– a) = – arcsinа; arccos (–a) = – arccosa

arctg(– a) = – arctga; arcctg(– a) = – arcctga.

(Все ответы поясняются на интерактивном тригонометрическом круге, расположенном в файлах notebook интерактивной доски)

2.Решить уравнения: (задания записаны на интерактивной доске, ответы закрыты “шторкой”, в конце выполнения самопроверка, критерии оценивания с.р.: 0 – 3 задания – незачёт, 4– 5 заданий – зачёт )

 

1

2

3

4

5

В I

cos = 1;

sin 3х = 0;

tg = –1

2cos (х) = 1

2cos (х) = 1

В II

sin = 1

сos 3х = 0

сtg = –1

2sin (х) = 1

2cos = 0.

Ответы:

 

1

2

3

4

5

ВI

k, kZ

, nZ

+ 2рn, nZ

±++2рn, nZ;

(–1)nр+3рn,nZ

ВII

2р + 8рk, k Z

+,nZ

+2рn, nZ

(–1)n+n, nZ;

+ 6рn, nZ

IV. Объяснение нового материала (сопровождается презентацией, созданной с помощью программного обеспечения SMART Notebook интерактивной доски SMART Boord. Все примеры уравнений заранее записаны в файлах notebook – это экономит время )

Более сложные тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям:

  • методом замены переменных;
  • методом разложения на множители;
  • непосредственно, с помощью тригонометрических преобразований.

Сегодня на уроке мы рассмотрим первые два способа.

1. Разберем метод разложения на множители.

Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .

а) Разбор учителем уравнения:

2. Разберем метод замены переменных.

а) Методом подстановки решаются те тригонометрические уравнения, которые представляют собой квадратные уравнения относительно какой-либо тригонометрической функции. Если в уравнение входят различные тригонометрические функции, то надо выразить их через одну.

Разбор учителем уравнения:

Т.к. 8 – (–1) + (–9)=0, то

Ответ:

б) Методом замены переменных можно решать так называемые “однородные” тригонометрические уравнения. Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени. Примеры однородных уравнений:

, где -однородное тригонометрическое уравнение первой степени, – однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0, так как a0. Получается, что и cosx=0, и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx– вполне благополучная операция.

Разбор учителем уравнения:

1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx? получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то , рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том , что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .

Это – квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx.

2. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .

V. Закрепление нового материала

Самостоятельная работа

1 вариант

1) cosx – 3cos x = sinx +4.

2) sinx +cosx = 0

3) sinx – sinx = 0

2 вариант

1) sin3x + sinx = sin2x

2) 2cosx +5sinx – 4 = 0

3) sinx – cosx = 0

Далее идет взаимопроверка(обмен тетрадями) этой самостоятельной работы и выставление оценок ( образец решения заранее записан в файлах notebook интерактивной доски)

В1

1) Tак как sinx = 1 – cosx, то cosx – 3cosx = 1 – cosx + 4,

2cosx – 3cosx – 5 = 0. Пусть cosx = t; -1 t 1; тогда получим 2t– 3t– 5 = 0;

t= 2,5 > 1; t= – 1, то есть cosx = – 1 и

x = + 2n, nZ.

B2

1) Используем формулу sinx+siny=2sincos,

получим 2sin2x cosx = sin2x,

2sin2x cosx – sin2x = 0,

Sin2x(2cosx – 1) = 0

Sin2x = 0 или 2cosx – 1 = 0

x = , nZ; x = +2k, kZ.

B1

2) Разделим каждое слагаемое на cosx, получим:

Sinx/cosx + = 0;

tgx = – ;

x = – + k, kZ.

2) 2cosx+5sinx -4=0

Используем формулу sinx + cosx = 1, получим

2(1-sinx) +5sinx – 4 = 0,

2 – 2sinx+ 5sinx – 4 = 0.

Обозначим sinx = а, получим квадратное уравнение 2а– 5а+ 2 = 0, откуда а=0,5; а=2.

При sinх =2 корней нет, а при Sinx=0,5,

x =(-1)kZ.

B1

3) Вынести sinx за скобки, получим уравнение

Sinx (sinx – 1) = 0;

Sinx = 0 или sinx – 1 = 0

x = k, kZ x = +k, kZ.

3) Разделим обе части уравнения на cosx 0, x+ k, kZ,

= 1; tg x = 1

x= +k, kZ.

VI. Итог урока.

Чем занимались на уроке? Сколько способов решения уравнений рассмотрели. Перечислите. Что интересного узнали?

Выставление оценок.

VII. Задание на дом:

по карточкам, где записаны 4 обязательных уравнения и 1 дополнительное уравнение повышенной сложности. Карточки трех видов: на “3”, “4”, “5”. Каждый ученик, выходя из класса, выбирает себе домашнее задание.

19.01.2012