Что нужно знать и уметь, чтобы решать квадратные уравнения.
- Определение квадратного уравнения;
- Формула дискриминанта квадратного уравнения;
- Формула корней квадратного уравнения;
- Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, если второй коэффициент четное число;
- Теорема Виета.
Выучи и запомни!
Квадратным уравнением называется уравнение
вида a
bx
+ c = 0, где x – переменная, a 
0, b,c -некоторые числа.
Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и c – свободным членом.
Дискриминантом квадратного уравнения abx + c = 0
(“дискриминант” по-латыни – различитель) называют
выражение вида D = b
- 4 ac.
- Если D>0, то квадратное уравнение имеет два действительных корня;
- Если D=0, то квадратное уравнение имеет один действительный корень;
- Если D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Формула корней квадратного уравнения имеет
вид:
При решении квадратного уравнения по формуле целесообразно поступать следующим образом:
- Вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
- Если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что действительных корней нет.
Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записывать в другом виде:
,
где k = 
.
Полезно запомнить, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из корней равен единице.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.
Теорема. Если числа m и n таковы, что их
сумма равна –p, а произведение равно q, то эти
числа являются корнями уравнения х + px + q =0.
Теперь попробуй выполнить следующие задания.
1. Для каждого уравнения вида abx + c = 0 укажи
значения
a, b, c.
а) 3х + 6x -9 = 0;
б) х - 4x +4 = 0;
в) х - 2x -15 = 0;
г) -3х + 8x -18 = 0;
2. Продолжи вычисление дискриминанта D
квадратного уравнения по формуле D = b - 4 ac.
а) 5х - 7х + 2 = 0, D = (-7)? -
4*5*2 = 49 – 40 = …;
б) х - х – 2 = 0, D = (-1)? -
4*1*(-2) = …;
в) х - 2x -15 = 0, D = (-2) - 4 …;
г) -3х + 8x -18 = 0, D = …;
3. Внимательно рассмотри решение квадратных
уравнений. 3х - 5х – 2 = 0:
Вычислим дискриминант по формуле D = b - 4 ac. D =(-5) - 4*3*(-2) = 25 + 24 =49, D>0, значит уравнение
имеет два действительных корня. Найдем их
значения по формуле 
. 
= 
= 2, 
= 
= - 
=- 
. Ответ: 2; 
;
9х - 6х + 1 = 0: D=0, значит,
уравнение имеет один действительный корень
=; 9х - 6х + 10 = 0: D= 36 – 360 = - 324, D< 0,
значит, уравнение действительных корней не
имеет.
4. Реши уравнение:
а) 3х - 13х + 4 = 0;
б) 2х - 9х -5 = 0;
в) 5х - 13х + 6 = 0;
г) 9х - 12х + 4 = 0;
д) 4х - х + 1 = 0;
е) 49х - 28х + 3 = 0.
Проверь себя!
Дискриминант равен а) 121; б) 121; в) 49; г) 0; д) -15; е) 196.
Ответ: а)
; 4; б) 
; 5; в) 
; 2; г) 
; д) корней нет; е) 
и 
.
Оцени себя!
- Если все уравнения решены правильно, то молодец! Работа выполнена на 5 баллов.
- Если допустил одну ошибку, то ничего страшного. Будь внимательней! Работа выполнена на 4 балла.
- Если ошибок намного больше, не огорчайся. Помни! Не ошибается тот, кто ничего не делает. Попробуй еще раз.
Советую изучить следующую литературу:
- Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин-М:Педагогика,1985-352с.
- Математика. Школьная энциклопедия. С.М.Никольский -М: Большая Российская энциклопедия. Дрофа 1997-527с.
- За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин. Москва, Просвещение, 2008г.
- Алгебра, учебник для 8 класса. В.Г. Дорофеев. Москва, Просвещение, 2010г.
- Алгебра, учебник для 8 класса. А.Г.Мордкович. Москва, Просвещение, 2008г.
- Алгебра, учебник для 8 класса Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И.Нешков, С. Б. Суворова. Москва, Просвещение, 2010г.