Урок-практикум по теме "Решение задач на классическое определение вероятности"

Разделы: Математика


Цели урока: 

  1. Учебная: повторение понятий и формул комбинаторики, определения и свойств вероятности; совершенствование изученного материала.
  2. Развивающая: формирование умений применять приёмы анализа, сопоставления, обобщения, оформления результатов учебной деятельности; формирование важных психофизиологических качеств личности (интеллектуальных, зрительных, слуховых и т.д.).
  3. Воспитательная: воспитание культуры речи, построения плана деятельности; воспитание сознательной дисциплины и норм поведения; формирование умений осуществлять взаимосотрудничество и взаимоконтроль учебно-познавательной деятельности, учебно-практической деятельности; формирование умений осуществлять самоконтроль хода и результатов учебной деятельности.

План урока:

  1. Повторить основные правила и формулы комбинаторики.
  2. Повторить классическое определение и свойства вероятности;
  3. Применить классическое определение вероятности и свойства вероятности при решении задач.

Ход урока

I. Фронтальное повторение основных правил и формул комбинаторики:

Заполните пропуски:

1. Перестановкой из n элементов называется _________________ из n элементов по n элементов.

2. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо k действия. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье действие – ___ способами и так далее до ... действия, то все k действий вместе можно выполнить ______________ способами.

3. Решить задачу.

В ящике из 18 яблок находятся 4 красного цвета, остальные зелёного. Наугад берут 5 яблок. Сколько существует способов их взятия так, чтобы среди них оказалось два красного цвета?

Решение:

Среди 5 взятых яблок должно быть 3 зелёных и 2 красных. Число способов выборки двух красных яблок из 4 имеющихся равно числу ___________________ . Число способов выборки трёх зелёных яблок из 14 имеющихся зелёных равно числу сочетаний из 14 по 3 . Общее число комбинаций составляет ___________________________________

Ответ: ________ способов взятия 3 зелёных и двух красных яблок из 18 имеющихся, среди которых 4 красных.

4. Упростить:

5. Решить задачу.

Сколькими способами можно разместить 3 иллюстрации на 10 страницах?

Решение: Так как количество числа размещений иллюстраций зависит и от порядка их следования, то данное число способов равно числу __________

___________________, т.е.

6. __________________________ из n элементов по m элементов ()

называется упорядоченное подмножество, содержащее m различных элементов данного множества.

7. Решить задачу.

Сколькими способами можно из бригады 25 человек выбрать 4 человека для работы на определенном участке ?

Решение:

Так как порядок выбранных 4 человек не имеет значения, то это число способов можно вычислить следующим образом: .

8. Решить задачу.

Клавиатура пианино состоит из 88 клавиш. Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, допуская повторения одних и тех же нот в одной фразе?

Решение:

В качестве первой ноты можно взять любую из 88, а так как повторения разрешаются, то для второй ноты мы имеем _______ возможностей, и поэтому, музыкальных фраз из ___________ нот существует . Продолжая рассуждения, получим , что число различных музыкальных фраз из 6 нот составляет ___________= 464404086784.

Выберите правильный ответ <Рисунок 1> (оригиналы рисунков в Приложении 2)

 

II. При повторении определения и основных свойств вероятности можно выполнить следующие задания:

1. Рассмотреть решение задач:

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле Р (А) =  , получим Р (А) =  =  = 0,2.

Задача 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев есть n = 5 + 3. Число случаев m, благоприятствующих появлению события А, равно 3. По формуле Р (А) =  получим Р (А) =  = 0,375.

Задача 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров, через А. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два: . Число случаев m, благоприятствующих событию А, составляет . По формуле Р (А) =  находим вероятность появления двух черных шаров: Р (А) =  =  =  = 0,147.

Выберите правильный ответ <Рисунок 2>

Заполните пропуски:

1. Под опытом понимается выполнение комплекса условий, в результате которого__________ _____________ _________________________ ________________________________ ___________ ________________ ______________ _____________

2. Вероятностью события А называется ___________________ числа исходов

_____________ ________________ ______________ ______________к числу________

_____________ _________________, т.е. Р(А) = ……………………

3. Полной системой событий А1, А2, …Аn называется совокупность __________________ событий, наступление ____________ __________________

обязательно.

4. Задача. Даны 5 точек, никакие две из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад любые две из них, получим нужную нам прямую.

Решение. А – выбор искомой прямой. Число всех возможных исходов равно

количеству прямых, проходящих ________________ _________________________.

Так как прямая определяется однозначно ____________ точками, то каждая пара должна отличаться ___________________ одной точкой. Следовательно, число всех исходов испытаний равно числу __________ _______________ из ______ по _______, т.е. С

Искомой же является только ____________ пара точек, поэтому Р(А) =

5. Полной системой событий называется несколько _______________________, что в результате опыта непременно должно произойти __________ одно из них.

6. Задача. Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?

Решение:

Число всех исходов испытаний равно _______, так как любое из возможного числа очков на одной грани может сочетаться с любым числом очком на другой. Теперь вычислим, в каких случаях сумма очков _________________

Это будет в следующих случаях: 2+6, 3+5,____________________________

Таким образом, данному событию А благоприятствует _________ исхода. Поэтому,

Р(А) =

III. Самостоятельное выполнение заданий теста (можно с последующей проверкой на уроке)

<Рисунок 3> – задания 1 варианта;

<Рисунок 4> – задания 2 варианта

 

IV. Самостоятельное решение задач по вариантам.

Далее представлен один из десяти вариантов для самостоятельного решения задач. 

  1. Вероятность облачного дня в течение недели равна 0,653. Какова вероятность солнечного дня?
  2. Из слова ФАКТОРИАЛ выбирается одна буква. Какова вероятность, что это буква А?
  3. На полку ставят 4-х томное издание. Какова вероятность того, что поставят в беспорядке?
  4. Колода в 36 карт делится пополам. Какова вероятность того, что одной половине не будет дам?
  5. Абитуриент не знает 15 вопросов программы из 45. В билете 2 вопроса Какова вероятность того, что он вытянет билет, где оба вопроса ему известны?
  6. В первой урне 3 белых и 6 чёрных шаров. Во второй 5 красных и 6 чёрных шаров. Из каждой урны не глядя берут по одному шару. Какова вероятность того, что из первой урны взят чёрный шар, а из второй – красный?
  7. Карточки с буквами А, Д, И, В, Н, О сложены в коробку. Какова вероятность того, что вынимая 5 последовательно одну за другой получится слово «ДИВАН»?
  8. Какова вероятность того, что выбранное наугад число от 1 до 90 не содержит цифры 5?

Задачи вариантов 1-9 представлены вашему вниманию следующим образом: 

<Рисунок 5> варианты 1-3 , <Рисунок 6> варианты 4-6, <Рисунок 7> варианты 7-9 – Приложение 1.

5.08.2010