Системы счисления. Двоичная система счисления (занятие кружка)

Разделы: Математика


Цели занятия:

  • Обучающаяформирование новых знаний, умений и навыков по переводу десятичных чисел в двоичную систему счисления и из двоичной системы в десятичную.
  • Развивающаяразвитие мышления учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала, развитие самостоятельности и речи;
  • Воспитательная активизация познавательной и творческой активности учащихся, воспитание чувства ответственности.

Ход занятия

1. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические.
Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество
пользовалось бы восьмеричной системой.
Н. Н. Лузин

По-чукотски глагол “считать” (“рылгык”) происходит от слова “рылг” - палец и значит, собственно, “пальчить”. “Десять” по-чукотски обозначается как “две руки”, а слово “двадцать” происходит от слова “человек” — весь человек, т. е. все пальцы на руках и ногах.

Вообще, видимо, сначала у многих народов господствовала не десятичная, а двадцатеричная система. Это отразилось и в строении числительных: например, по-французски 80 обозначается quatre-vingt, т. е. “четырежды 20”,- совсем как по-чукотски.

Слово “сорок” в русском языке резко отличается от других числительных, обозначающих десятки (трихдцать, пятьхдесят), а чтобы обозначить очень большое число, употребляют старинное выражение “сорок сороков”.

Не все народы и не всегда считают только с помощью пальцев. Иногда для этого пользуются другими частями тела. Например, одно из папуасских племен Новой Гвинеи считает так: мизинец левой руки, безымянный, средний, указательный, большой палец, запястье, локоть, плечо, левая сторона груди, правая сторона груди. Но характерно, что и здесь используется в качестве опоры именно человеческое тело. Лишь в дальнейшем числительные отрываются от этой опоры и начинают употребляться самостоятельно.

2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системы счисления — это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

При подсчете многих объектов удобно группировать их по нескольку штук. Такая группировка облегчает счет. Поскольку удобно считать на пальцах, предметы часто группируют по 5 или по 10 (впрочем, иногда и по 12- вспомните слово “дюжина”; иногда и по 7 — в неделе 7 дней).

В римской системе счисления1 есть особые знаки: для единицы - I, пяти - V, десяти - X, пятидесяти - L, ста - С, пятисот -D, тысячи - М. Примеры записи чисел в римской системе приведены в таблице. Римская система более или менее пригодна для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобна для умножения и деления.

Если в записи положение цифр (знаков) не играет важной роли, то систему счисления называют непозиционной. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков. У древних вавилонян система счисления вначале тоже была непозиционной, но впоследствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи цифр, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличие от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одну позицию, у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней: в часе — 60 минут, в минуте – 60 секунд.

Запись чисел в различных системах счисления

Десятичная

Римская

Двоичная

Троичная

Четверичная

1

I

1

1

1

2

II

10

2

2

3

щ

11

10

3

4

IV

100

11

10

5

V

101

12

11

б

VI

110

20

12

7

VII

111

21

13

8

VIII

1000

22

20

9

IX

1001

100

21

10

X

1010

101

22

11

XI

1011

102

23

12

XII

1100

110

30

13

XIII

1101

111

31

14

XIV

1110

112

32

15

XV

1111

120

33

16

XVI

10000

121

100

17

XVII

10001

122

101

18

XVIII

10010

200

102

19

XIX

10011

201

103

20

XX

10100

202

110

21

XXI

10101

210

111

22

XXII

10110

211

112

28

XXVIII

11100

1001

130

48

XLVIII

110000

1210

300

101

CI

1100101

10202

1211

151

CLI

10010111

12121

2113

1966

MCMLXVI

11110101110

2200211

132232

1980

MCMLXXX

11110111100

2201100

132330

1997

MCMXCVII

11111001101

2201222

133031

2000

ММ

11111010000

2202002

133100

5000

МММММ

1001110001000

20212012

1032020

Долгое время в вавилонской системе счисления не было нуля, т. е. знака для “пропущенного” разряда. В IX в. появился особый знак для нуля.

Десятичная система распространилась по всему миру.

Например, записывая 2653, мы имеем в виду число 2·103+6·102+5·101+3·10°. Особая роль отводится числу десять; все числа представляются в виде суммы различных степеней десяти с коэффициентами, принимающими значения от 0 до 9. Поэтому эта система и называется десятичной.

А что будет, если вместо десяти использовать какое-нибудь другое число, например шесть? По аналогии нам потребуется шесть цифр-символов. В качестве их мы можем взять знакомые нам символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, которые будут обозначать числа от нуля до пяти. Число шесть мы примем за единицу следующего разряда, и поэтому в нашей новой системе счисления оно будет записываться так: 10.

Продолжая аналогию, мы можем представить любое натуральное число в виде суммы различных степеней шестерки с коэффициентами от нуля до пяти. Например: 7=1·61+1·6°, 45=1·62+1·61+1·6°.

Поэтому в новой системе счисления, которая называется шестеричной, естественно записывать число 710 как 116, 4510 как 1136 (индекс у числа означает, что это число записано в данной системе счисления).

Нетрудно понять, что в шестеричной системе счисления можно записать любое натуральное число. Покажем, как это сделать для числа 45010. Наибольшее число, являющееся степенью шестерки и не превосходящее 450,- это 216. Разделим 450 на 216 с остатком: 450=2-216+18.

Неполное частное равно 2. Поэтому первой цифрой шестеричной записи числа 450 будет 2.

Остаток от деления равен 18. Разделим его на предыдущую степень шестерки (на первом этапе мы делили на б3, а теперь -на б2), с остатком: 18=0-36+18. Неполное частное равно нулю, поэтому вторая цифра - 0. Остаток равен 18. Разделим с остатком 18 на б1: 18=3-6+0. Значит, третья цифра равна 3, а остаток - 0. Таким образом, последняя цифра равна 0. Итак, 45010=20306.

При построении новой системы счисления мы не пользовались никакими специфическими свойствами числа 6. Аналогично по любому натуральному числу л, большему 1, можно построить л-ичную систему счисления, в которой запись числа связана с его разложением по степеням числа л.

Еще в XVII в. немецкий математик Лейбниц предложил перей-1и на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 10б=11010102. Однако в XX в., когда были созданы компьютеры, оказалось, что для выполнения арифметических операций на машинах самой удобной является именно двоичная система счисления. Удобным компромиссом между человеком и машиной являются шее шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления. Дело I Юм, что очень легко переводить числа из двоичной системы н любую из них, а по краткости записи восьмеричная система почти такая же, как десятичная, а шестнадцатеричная даже короче.

3.ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

В двоичной системе счисления таблицы сложения и умножения удивительно просты:

0 + 0 = 0 0-0 = 0
0 + 1=1 0-1=0
1 + 1=10 1-1=1

Пользуясь этими таблицами, легко складывать и вычитать:

Эти примеры в десятичной системе выглядят следующим образом:

  • 2 + 3 = 5;
  • 7 + 5 = 12;
  • 5-3 = 2;
  • 435 + 23 = 458.

Умножение в двоичной системе:

В десятичной системе этот пример выглядят так: 29 * 5 = 145

В двоичной системе можно записывать не только целые числа. Например, двоичная запись 101,1010111 в десятичную систему переводится следующим образом

1·22+0·21+1·20+1·2-1+0·2-2+1·2-3+0·2-4+1·2-5+1·2-6+1·2-7= 4 + 1 + 1/2 + 1/8+ 1/64+ 1/128 = 5,6796875.

Операции над натуральными числами в n-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы счисления таблицы таковы:

+ 0 1 2   X 0 1 2
0 0 1 2   0 0 0 0
1 1 2 10   1 0 1 2
2 2 10 11   2 0 2 11

4. Решение задач.

Задача 1.Сколько цифр необходимо иметь: а) в двоичной системе счисления; б) n-ичной системе счисления?

Задача 2.Запишите в десятичной системе счисления числа 101012, 101013, 2114, 1267, 15811.

Задача 3.Запишите число 10010 в двоичной, троичной, четверичной, пятеричной, шестеричной, семеричной, восьмеричной и девятеричной системах счисления.

Задача 4.Запишите число 11110 в одиннадцатеричной системе счисления (в качестве недостающей цифры 10 принято использовать букву А).

Задача 4.Запишите число 11101001112 в шестнадцатеричной системе счисления (в качестве недостающих цифр от 10 до 15 принято использовать буквы А, В, С, D, E, F).

Задача 5. Переведите число 100101110011012 из двоичной в восьмеричную систему счисления.

Задача 6. Составьте таблицы сложения и умножения для систем счисления: а) четверичной; б) пятеричной ; в) пятнадцатеричной.

Задача 7. Вычислите:

а) 11002+11012;

б) 2013-1023.

Задача 8. Сначала выполните действия в десятичной системе, затем переведите числа в двоичную систему, выполните в ней те же действия, ответ переведите в десятичную систему: а) 20+40; б) 1998+23; г) 23·34534; д) 460·20.

Литература.

1. Петраков И.С. Математические кружки, М.:Просвещение,1987, стр.7-10

2. Факультативный курс по математике 7-9, М.:Просвещение, 1991, стр.4-22.

3. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике, М.:Просвещение,2005,стр.128-133.

4. Методические разработки для первого курса математического отделения ОЛ ВЗМШ, М. 2009.