"Математическая смесь"

"Человек не может понимать окружающий
его мир только логикой мозга, он должен
ощутить его логикой сердца, т. е. эмоцией."

(С.В. Образцов).

Подготовка.

1) Постановка мини – спектакля из жизни Эйлера;
2) Оснащение рабочего места для каждого ученика:
а) ксерокопия портрета Эйлера;
б) полоски для изготовления листов Мёбиуса;
в) ножницы;
г) лист в клеточку для построения числовой пирамиды.
3) Оформление классной комнаты:
а) портрет Эйлера;
б) яркое название из разноцветных букв "Математическая смесь";
в) план содержания;
г) выставка книг, брошюр, статей, журналов по данным темам.

Цели:

1) Стремление научить воспринимать мир не как источник проблем, а как источник возможностей. Познание через "развлечение".
2) Воспитание вкуса к занятиям математикой, исследованиям проблем. Формирование осознания того, что за каждым открытием стоит титанический труд, нелёгкая человеческая судьба.
3) Возбуждение охоты самостоятельно пополнять по учебным книгам пробелы своей подготовки.
4) Знакомство с популярной литературой по математике, в которой данный материал опубликован.

Форма проведения: в форме устного журнала.

Ход урока

Отсутствие, на первый взгляд, строгой последовательности в изложении материала вполне сознательно, т.к. систематическое расположение материала может довольно быстро "набить оскомину" и утомить.

1. Вступление.

2. Содержание

1) Трагическая страница биографии Л.Эйлера (инсценировка).
2) Круги Эйлера.
3) Факториал.
4) Лист Мёбиуса.
5) Числовая пирамида.

3. Выводы.

1. Вступление.

Если тот из вас, кто любил математику прежде, полюбит её ещё больше – цель наша достигнута. Если же кто-то, не любивший математику, останется безразличным к ней и сейчас, то и это – не трагедия: математика совсем не единственный объект, на который могут быть устремлены ваши помыслы. Знать, знать, знать… Знать, как можно больше, знать, как можно глубже. Жить интереснее, когда каждый день можно узнавать что-то новое. Для нас должна быть совершенно непреложной истина – для человека потерен тот день, когда он не узнает чего-то нового. "Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию" (Ян Амос Коменский).

2. Содержание.

2.1. Сценка (Максим Мещеряков в роли Эйлера, на столе свеча и кипа исписанных страниц).

1 ученик. Стенные часы пробили половину третьего. Их удар, раздавшийся в ночной тиши, заставил взрогнуть так же, как выстрел крепостной пушки в полдень. Эйлер встал из-за стола. Комната была погружена во мрак, Свет единственной свечи стоявшей на столе и заботливо прикрытой абажуром, освещал лишь небольшой заваленный бумагами круг.

2 ученик. Несколько шагов по мягкому ковру, несколько взмахов руками. Ломило грудь, ныла поясница, несколько раз мучительно резко потянуло в глазу. Откуда такие немощи? Это в двадцать-то восемь лет! На какой-то миг пронзительно захотелось бросить всё и залечь сурком в тёплую мягкую постель. И отоспаться за все долгие-долгие бессонные ночи. Но это невозможно.

3 ученик. Смешно говорить о честолюбии, но именно оно явилось причиной этой изнурительной спешки. Работа была трудной, даже для него, привыкшего считать безделками то, перед чем другие в бессилии опускали руки. Цифры, цифры, цифры… Колонки цифр, страницы цифр, стопки исписанных страниц. Выкладки и ещё выкладки…

4 ученик (Эйлер). Честь, моя честь, честь ученого, поставлена на карту. Надо за трое суток выполнить, важное правительственное задание, выполнить во что бы то ни стало. Почему я так опрометчиво дал это обязательство? Просили же другие несколько месяцев! Работа и вправду оказалась трудной, но чем труднее, тем заманчивее. Это вызов уму, человеческому уму. Вызов должен быть принят, брошенная перчатка должна быть поднята. Иначе ты окажешься трусом, умственным трусом, что едва ли не хуже, чем быть трусом в поединке по поводу оскорблённой чести.

5 ученик. Математик перчатку поднял. Работа была трудной, но она была и чрезвычайно захватывающей, настолько захватывающей, что математик, забывая о сне и еде, весь отдавался во власть чарующей гармонии строгих и последовательных зависимостей. И снова цифры, формулы, цифры… Эйлер потёр глаз ладонью. Боль, кажется, немножко утихла.

4 ученик (Эйлер). Это – моя жизнь. Без наслаждения музыкой математики она не имеет смысла. Как хорошо сказал кто-то из старых геометров – жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой. Как бы порой и не хотелось бросить всё и не думать о гвоздём засевших в голове вопросах…

6 ученик. Работа была окончена в срок. Но оставила после себя страшный, чудовищный след – глаз, его правый глаз, так мучительно нывший в последнее время, не выдержал сверхчеловеческого напряжения и вытек. Но математик не перестал вычислять. А когда вычислять стало уже нельзя, прекратилась и жизнь. После его смерти сказали так: Эйлер перестал вычислять и жить. Именно так – вычислять, а поэтому и жить.

7 ученик. Это был один из величайших математиков всех времен. Родился он в самом начале XVIII ст. в Швейцарии, но почти половину своей долгой жизни прожил в России. Здесь он умер, здесь и покоится его прах. Мы по праву называем Эйлера отечественным математиком.

2.2. Круги Эйлера.

Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. Эйлер писал тогда, что "они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления". Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

Задача. Пересчитай математиков. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

Обсуждение. В круг, обозначенный буквой М, поместим всех математиков, а в круг, обозначенный буквой Б, всех биологов. В общей части кругов, обозначенной буквами МБ, окажутся те самые биологи-математики. Всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35–10=25 ребят. Внутри "математического" круга М находятся 20 ребят, значит, в той части "биологического" круга, которая расположена вне круга М, находятся 25–20=5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11–5=6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

2.3. Факториал.

В 1916 г. совет Лондонского математического общества рекомендовал принять обозначение n! (эн факториал).

0!=1(по определению)
1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!=1*2*3*4=24
5!=1*2*3*4*5=120
6!=1*2*3*4*5*6=720
7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320

Существуют числа, которые могут быть выражены суммой факториалов своих цифр.

Проверьте:

1) 145=1!+4!+5!
145=1+24+120
145=145

2) 40585=4!+0!+5!+8!+5!
40585=24+1+120+40320+120
40585=40585

3) 37=3!+7! (неверно)
37=6+5040
37=5046

2.4. Лист Мёбиуса.

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус (1790-1868), ученик короля математиков Гаусса. Мебиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мебиуса. Лист Мебиуса один из объектов области математики под названием топология. Удивительные свойства листа Мебиуса – он имеет один край, одну сторону. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

Учитель: Я беру бумажную ленту ABCD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией, прикладываю её концы AB и CD друг к другу и склеиваю. Но не как попало, а так чтобы А совпала с D, а В – с точкой С. Для этого перед склейкой я перекручиваю ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название – лист Мёбиуса. А теперь я режу ножницами склеенную ленту посередине вдоль пунктирной линии. Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. Разрежем это кольцо и ещё раз посередине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено. Вот какие неожиданные вещи поисходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса. У этого листа масса удивительных свойств. У него есть только одна сторона!

Эксперимент 1. Ленту ABCD разделим по её ширине на три одинаковые части двумя пунктирными линиями. Склеим, перекрутив один раз, лист Мёбиуса. Разрежем по пунктирным линиям.

Эксперимент 2. Приготовьте два листа Мёбиуса, перед склейкой разделив ленту на четыре и пять равных полос. Разрежьте по пунктирным линиям. Можно ставить ещё немало экспериментов по разрезанию лент. Придумайте и поставьте.

2.5. Числовая пирамида.

Предлагается:

а) полюбоваться её красотой и изяществом;
б) проверить истинность;
в) увидеть закономерности в её построении;
г) воспроизвести на память.

1*8+1=9
12*8+2=98
123*8+3=987
1234*8+4=9876
12345*8+5=98765
123456*8+6=987654
1234567*8+7=9876543
12345678*8+8=98765432
123456789*8+9=987654321

3. Выводы.

За каждым математическим утверждением, высказыванием, формулой, символом стоит конкретное человеческое имя (Эйлер, Мёбиус, Гаусс …), человеческая судьба. Так, Эйлер выполнил работу в срок, но эта работа ему дорого стоила: у него вытек правый глаз.

Сегодня мы познакомились с не очень сложными вопросами, но они являются частичками очень серьёзных ветвей математических знаний:

• n! – элемент теории вероятности;
• лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием топология (т.е. " геометрия положения ");
• круги Эйлера – элемент математической логики;
• числовая пирамида – элемент теории чисел.

Математика не является сухой наукой, она чудесна, увлекательна, изящна и занимаются ею замечательные люди.