Обобщающий урок по теме "Система счисления"

Цель урока: подготовить учащихся к ЕГЭ по информатике по теме “система счисления”.

Задачи урока.

• Образовательная: систематизировать знания учащихся и показать методы решения заданий ЕГЭ;
• Развивающая: развитие логического, алгоритмического мышления, внимания;
• Воспитательная: воспитание умения работать с тестовыми заданиями.

Оборудование: компьютер, проектор, карточки с заданиями, презентация.

1. Организационный момент
2. Цели и план работы на уроке
3. Справочный материал
4. Разбор заданий
5. Задания для самостоятельной работы
6. Итоги урока

1. Организационный момент:
Приветствие, проверка подготовки к уроку, психологическая подготовка.

2. Цели и план работы на уроке:
Сегодня у нас обобщающий урок по теме “Системы счисления”. Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученный материал. Вам нужно показать свои знания и умения в процессе выполнения различных заданий ЕГЭ по данной теме.

• Система счисления – совокупность приемов и правил для обозначения чисел и действий над ними. Системы счисления принято делить на две основные группы: позиционные и непозиционные.
• Алфавит системы счисления – это упорядоченное множество всех символов, используемых для записи чисел в данной системе счисления.
• Позиционная система счисления – это система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции в числе.

Например, десятичное число 555. В нем первая цифра 5 означает пять сотен, вторая – пять десятков, а третья – пять единиц.

То есть его можно записать вот так:
555 = 5 × 100 + 5 × 10 + 5 × 1 или
555 = 5 × 10² + 5 × 10¹ + 5 × 10⁰.
547,25 = 5 × 10² + 4 × 10¹ + 7 × 10⁰ + 2 × 10^-1 + 5 × 10^-2

Любое число в позиционной системе счисления имеет вид:
A_q = ±a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 +...+ a₀q⁰ + a_-1q^-1 + a_-2q^-2 + a_-mq^-m,
A_q – само число, q –основание системы счисления, a_i – цифры данной системы счисления.

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Пример 1. Найти сумму чисел 111₂ + 111₈ + 111₁₆.

Решение

111₂ = 1х2² + 1х2¹ + 1х2⁰ = 4 + 2 + 1 = 7₁₀;
111₈ = 1х8² + 1х8¹ + 1х8⁰ = 64 + 8 + 1 = 73₁₀;
111₁₆ = 1х16² + 1х16¹ + 1х16⁰ = 256 + 16 + 1 = 273₁₀.
111₂ + 111₈ + 111₁₆ = 7 + 73 + 273 = 353₁₀.

Пример 2. Перевести в десятичную систему счисления по схеме Горнера числа 103₈; 10101₂.

Решение

103₈ = (1х8 + 0)х8 + 3 = 67₁₀.
10101₂ = (((1х2 + 0)х2 +1)х2 + 0)х2 + 1= 21₁₀.

Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления.

Алгоритм перевода целого десятичного числа N в позиционную систему с основанием p

1. Разделить нацело число N на p.
2. Полученный остаток от деления дает цифру, стоящую в нулевом разряде p-чный записи числа N .
3. Полученное частное снова разделить нацело на p и снова запомнить полученный остаток – это цифра первого разряда, и.т.д.
4. Такое последовательное деление продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Цифрами искомого числа являются остатки от деления, выписанные слева направо, начиная с последнего полученного остатка.

Пример.
Перевести десятичное число 20 в двоичную, троичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение

q, p –основания системы счисления

Результат: 20₁₀ = 10100₂, 20₁₀ = 202₃, 20₁₀ = 24₈, 20₁₀ = 14₁₆.

Пример 1. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 1011000010,0011001₂.

Решение

Разобьем исходное число на группы по 3 цифры, начиная от десятичной запятой, и заменим триады восьмеричными цифрами:

Разобьем число на группы по 4 цифры, начиная от десятичной запятой, и заменим тетрады шестнадцатеричными цифрами:

Результат: 1011000010,0011001₂ = 1302,144₈ = 2С2,32₁₆.

Пример 2. Заменить числа 2607,34₈ и 6В07,D4₁₆ равными им двоичными значениями.

Решение

Заменим каждую цифру числа 2607,34₈ восьмеричной триадой:

Результат: 2607,34₈ = 10110000111,011100₂.

Заменим каждую цифру числа 6В07,D4₁₆ шестнадцатеричной тетрадой:

Результат: 6В07,D4₁₆ = 110101100000111,110101₂.

Разбор заданий (слайды 13–16):

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г.

А1. Дано А = 9D₁₆, В = 237₈. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе, соответствует условию A< C < B?

1) 10011010₂
2) 10011110₂
3) 10011111₂
4) 11011110₂

Решение. (1 способ).

Через десятичную систему А = 9D₁₆ = 9·16¹ + 13·16⁰ = 144 + 13 = 157, В = 237₈ = 2·8² + 3·8¹ + 7·8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159.

Ответы запишем в десятичной системе:
1) 10011010₂ =1·2⁷ + 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2¹ = 128 + 16 + 8 + 2 = 154
2) 10011110₂ = 1·2⁷ + 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ = 128 + 16 + 8 + 4 + 2 = 158
3) 10011111₂ = 1·2⁷ + 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 128 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 159 4) 11011110₂ = 1·2⁷ + 1·2⁶ + 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 222.
Между 157 и 159 будет число 158.

Значит, ответ – 2.

А4.Чему равна сумма чисел Х и Y, если Х = 110111₂ и Y = 135₈.

Результат представьте в двоичном виде.

1) 11010100₂
2) 10100100₂
3)10010011₂
4) 10010100₂

Решение.

Х = 110111₂ Y = 135₈ = 1011101₂

Сумма: 110111₂ + 1011101₂ = 10010100₂

таким образом, верный ответ – 4 .

B3^{[1 ]}. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение:

переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 20₅, 11 = 21₅, 12 = 22₅, 13 = 23₅, 14 = 24₅, 15 = 30₅, 16 = 31₅, 17 = 32₅ .

Считаем цифры 2 – получается 7 штук
таким образом, верный ответ – 7 .

5. Задания для самостоятельной работы (слайды 17–19): Приложение

Внимательно прочитайте каждое задание. Устно или в черновике произведите необходимые расчеты. В бланк ответов рядом с номером задания необходимо записать полученный результат в строчку.

Литература

1. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11-х классов. – М.: Бином Лаборатория знаний, 2002 г.
2. [1] – Источники заданий: http://kpolyakov.narod.ru