Внеклассное мероприятие по математике в 7-м классе "Виды систем счисления"

Разделы: Математика


Цели мероприятия:

  • Обучающая: формирование новых знаний, умений и навыков по теме “Системы счисления”,
  • Развивающая: развивать умение выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала; самостоятельность; развитие речи, эмоций, логического мышления учащихся.
  • Воспитательная: формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля, чувство ответственности, деловые качества учащихся. Активизация познавательной и творческой активности учащихся

Ход занятия

План:

  1. Оргмомент. Вводное слово учителя.
  2. Доклады учащихся.
  3. Обсуждение темы.
  4. Подведение итогов.

Оборудование: плакаты, рисунки.

1. Оргмомент.

Проверка готовности учащихся к проведению занятий.

Введение в тему:

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается справа числа в нижнем индексе: 510; 11101102; AF17816 и т. д.

Различают два типа систем счисления:

  • позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
  • непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

,

где S - основание системы счисления;

An - цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n - количество разрядов числа.

2. Доклады учащихся.

а) Римская система счисления (Доклад Плынгэу Вероники)

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV.

При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

Таблица 1. Запись чисел в римской системе счисления

1 2 3 4 5
I II III IV V
6 7 8 9 10
VI VII VIII IX X
11 13 18 19 22
XI XIII XVIII XIX XXII
34 39 40 60 99
XXXIV XXXIX XL LX XCIX
200 438 649 999 1207
CC CDXXXVIII DCXLIX CMXCIX MCCVII
2045 3555 3678 3900 3999
MMXLV MMMDLV MMMDCLXXVIII MMMCM MMMCMXCIX

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

б) Десятичная система счисления (Доклад Абесламидзе Лии)

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале XIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

в) Двоичная система счисления. (Доклад Ожогина Александра)

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII - ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Таблица 2. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
1 001 1 1
2 010 2 2
3 011 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

 3. Обсуждение темы занятия. Дополнения учащихся. Решение задач.

1) Пример. Число 629310 запишется в форме многочлена следующим образом:

629310 = 6 * 103 + 2 * 102 + 9 * 101 + 3 * 100

Перевести это число в двоичную систему счисления.

Ответ: 629310 = 111001100102

2) Число 6398 записано в восьмеричной системе счисления.

Перевести его в десятичную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

63988 = 6*83 +3*82 +9*81 +8*80 = 6*512 + 192 +72 + 8 = 335410

Ответ: 63988 = 335410

3) Перевести число 167 в 2-ую.

16710 = 11100112

4) Перевести числа из одной системы в 10-ю: А5С16.

Ответ: А5С16 16 = 10*164+5*.163+12*162+1*161 +6*160=2562*10 + 4096*5 + 12*256 + 16 +6 =

5) Перевести из 16-й в 2-ю: D55C

Ответ: D55C = 11010101010111002

6) Перевести из 2-й в 16-ю: 11100011101

Ответ: 11100111012 = 71D16

 4. Подведение итогов. Оценка за выступления и решения задач учащимися.

17.03.2008