Материалы к уроку геометрии по теме: "Вложенные тела"

Разделы: Математика


Цель работы: создание тренировочной программы по геометрии (раздел стереометрии, тема ”Вписанные тела”) для учеников 10-11 классов, помогающей разобраться в данной теме и способствующей закреплению знаний и развитию абстрактного мышления ученика.

Работа состоит из семи нестандартных задач на тему “Вложенные тела”. К каждому заданию прилагается рисунок. Перед тем, как ученик начнёт решать задачу, он может ознакомиться с её кратким описанием. Имеются также опорные пункты, своего рода план решения данной задачи, с помощью которого учащемуся будет проще понять структуру задачи и продумать ход решения.

Решение сложных стереометрических задач зачастую сводится к планиметрии. Учитывая этот факт, в работе приводятся выносные чертежи (где это необходимо), с помощью которых сложные для понимания объёмные изображения, переложенные на плоскость, становятся более доступными и понятными.

Проект может помочь не только научиться решать трудные стереометрические задачи, но и проверить себя (в том случае, если учащийся уже знаком с подобными заданиями).

Воспользовавшись наглядным чертежом, ученик может самостоятельно решить задачу, а затем проверить правильность ответа, сравнить ход решения, а также (что очень важно для абитуриента) проследить за оформлением задачи.

 Задача №1

Дано: ABCA1B1C1 – правильная треугольная призма, описанная вокруг шара, AN = NB.
Найти:? img1.gif (103 bytes)

Для решения этой задачи необходимо повторить:

  • Определение вписанного шара;

  • Определение описанной призмы;

  • Определение правильной треугольной призмы;

  • Свойство медиан равнобедренного треугольника;

  • Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Решение.

Так как шар вписан в треугольную призму, следовательно, касается её верхней и нижней граней, поэтому диаметр шара будет равен ребру правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 (СС1 = d = 2r). Рассмотрим выносной чертёж:

В треугольнике A2B2C2 все стороны равны (т.к. по условию призма правильная), O2 – центр вписанной окружности. Пусть A2B2 = B2C2 = A2C2 = a , Z – точка касания окружности стороны С2A2 треугольника A2B2C2, тогда O2Z – радиус данного шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник B2C2Z:

B2C2 = a ( по построению);

B2Z = a/2 ( по свойству медиан в равнобедренном треугольнике);

(по теореме Пифагора), следовательно,

Рассмотрим треугольник С1СN (прямоугольный, т.к. ): , (искомый), тогда .

Рассмотрим треугольник ABC: т.к. AN=NB (по условию), то CN является высотой этого треугольника и, значит,

Отсюда . Следовательно, .

Ответ: .

Задача №2

Дано: SABC - треугольная пирамида, N – центр описанного шара, AB = BC = AC = , AS перпендикулярен (ABC), AS = 8, .

Найти: радиус шара Rш.

Задача №3

Дано: ABCDA1B1C1D1 –правильная четырёхугольная призма. O – центр описанного шара, AA1 = 1, AD = 2.

Найти: объем шара Vш.

Задача № 4

Дано: ABCA1B1C1 – правильная треугольная призма, O – центр описанного шара, Rш = 5. AA1 = 8, , .

Найти: ON.

Задача №5

Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара. DO:OO1 = 2:1.

Найти: .

Задача №6

Дано: SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, O1 – центр описанного шара, AM = MS.

Доказать: SA·SM = SO1·SO.

Задача №7

Дано: ABCA1B1C1 – прямая треугольная призма, O – центр описанного шара, Rш = 5; CC1 = 8; .

Найти: AB.

Полный текст работы, содержащий решения всех задач, находится в файле Приложение1.