Решение тригонометрических уравнений

Разделы: Математика


ТИП: УРОК ОБОБЩАЮЩЕГО ПОВТОРЕНИЯ.

ЦЕЛИ:

1) ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ:

  • повторение различных способов решения тригонометрических уравнений;
  • решение уравнений различными способами;
  • решение уравнений, предлагавшихся на вступительных экзаменах в МГУ;
  • решение тригонометрических уравнений, содержащих параметр.

2) ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ:

  • развитие внимания;
  • развитие умения правильно и чётко записывать решение;
  • развитие умения слушать объяснение одноклассников;
  • развитие умения проверять собственное решение.

3) РАЗВИВАЮЩИЕ:

  • развитие умения находить наиболее рациональный способ решения;
  • развитие математического мышления;
  • развитие умения обосновывать своё решение;
  • развитие умения обобщать полученные знания;
  • развитие умения решать уравнения с параметром.

ОБОРУДОВАНИЕ:

  • классная доска;
  • раздаточный материал с условиями заданий для работы в группах;
  • компьютер;
  • проектор;
  • экран.

ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ, НАВЫКИ:

В результате проведения урока учащиеся должны повторить основные приёмы решения тригонометрических уравнений, уметь решать тригонометрические уравнения уровня школьных выпускных и конкурсных экзаменов, должны понимать и уметь находить решение уравнений, содержащих параметр.

ХОД УРОКА:

1) Повторить основные способы решения тригонометрических уравнений:

  • решение уравнений, методом преобразования их к квадратным относительно
  • какой-либо тригонометрической функции;
  • решение однородных уравнений относительно синуса и косинуса;
  • решение уравнений методом разложения на множители;
  • решение уравнений методом введения вспомогательного аргумента;
  • решение уравнений методом замены .
  • Решение уравнений различными методами (работа в группах).
  • Решение уравнений конкурсных экзаменов (с использованием компьютера).
  • Решение уравнений с параметром (с использованием классной доски и компьютера).
  • Подведение итогов урока, выставление оценок.

МАТЕРИАЛЫ К УРОКУ

1. К каждому из указанных уравнений подобрать метод решения и решить его (решение уравнений на доске и в тетрадях):

Ответы:

2. Работа в группах (каждая группа получает конверт с заданием и карточку для выставления оценки и самооценки выполненной работы).

ВИД КАРТОЧКИ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК.

Фамилия, Имя Самооценка Оценка группы Итоговая оценка
         
         
         
         
         

КРИТЕРИЙ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНКИ:

“5”-решил 5уравнений различными способами самостоятельно;

“4”-решил 5уравнений различными способами и получил одну консультацию у членов группы;

“3”-решил 5уравнений различными способами и получил две или три консультации у членов группы;

“2”-испытывал трудности при решении уравнений и постоянно консультировался у членов группы;

Оценка выставляется группой после обсуждения и самим учеником, итоговая оценка выставляется учителем.

КАРТОЧКА №1.

КАРТОЧКА №2.

КАРТОЧКА №3.

КАРТОЧКА №4.

КАРТОЧКА №5.

ОТВЕТЫ:

КАРТОЧКА №1.

КАРТОЧКА №2.

КАРТОЧКА №3.

КАРТОЧКА №4.

КАРТОЧКА №5.

3. Решение уравнений конкурсных экзаменов.

Перепишем уравнение следующим образом:

Такое уравнение равносильно системе двух уравнений с одним неизвестным (в силу ограниченности синуса):

Решаем уравнение (диофантово) в целых числах:

image17.gif (782 bytes)

Левая часть уравнения делится на 4, следовательно,

Значит, решениями являются все числа вида

Ответ: .

image21.gif (490 bytes)

Преобразуем левую часть уравнения:

После замены переменной

Придем к смешанной системе

Разлагая левую часть уравнения на множители:

получим корни уравнения . Второй и третий корень не годятся из-за условия .

Остается решить простейшее уравнение

Очевидно, уравнение преобразуется к виду

Значения - не корни данного уравнения. Умножим его на :

Заметим, что при - не корни.

Ответ: .

4. Решение уравнений с параметром

1) При каких значениях уравнение имеет решение?

Разделив обе части уравнения на , получим

Поскольку , существует такое число image41.gif (80 bytes),что , например, , уравнение примет вид

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда , т.е. image46.gif (273 bytes).

2). При каких значениях уравнение

имеет решение?

Разделив обе части уравнения на и учитывая нечетность синуса, имеем

Поскольку , существует такое число ,что, например, уравнение примет вид

Ввиду того, что при всех , данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда .

Т.е. или .

5. Подведение итогов урока, домашнее задание.