Решение нестандартных уравнений вида f(x)=g(х) методом сравнения областей изменения этих функций и применения теоремы о единственности общей точки у возрастающей и убывающей функций

Смирнова Надежда Викторовна

Цели урока:

1) Обучающая: закрепить навык решения нестандартных уравнений способом

а) сравнение областей изменения функций
б) применения теоремы о единственности общей точки возрастающей и убывающей функций

2) Развивающая: продолжить развитие умения сопоставить факты, способность переводить теоретические знания в практические навыки.

3) Воспитательная: способствовать закреплению навыков четкого оформления решений задач.

I. Определить способ решения уравнения и обосновать выбор этого способа.

Уравнения, записаные на доске:

а) x² + 1 = Cos x

б) 2^/x/= 1 - x²

в) 2^x =3 – x

г)

д) /x – 1/ + /x + 1/ = 2Sin(px)

е) logx = 1 – x

Вопросы, задаваемые по ходу рассуждений:

а) Что общего у этих уравнений?

б) На какие две группы можно разделить эти уравнения?

I – а,б,г,д II – в,е

в) На чем основано решение уравнений группы I? E(f(x) = (a,b]) E(g(x) = (b,d])

Следовательно, эти уравнения имеют решение лишь в том случае, когда имеет решение система уравнений:

группа II f(x) – функция возрастающая, g(x) – убывающая, следовательно уравнение имеет решение x = x₀ и оно будет единственным, если графики этих функций пересекаются в точке х₀.

Каким образом можно еще решить эти уравнения? (Построим графики этих функций)

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

II. Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой.

а) 4^х – 2^х(12 – 2х) + 32 – 8х = 0

сделаем замену переменной:

2^х = t; t > 0

t² – t(12 – 2х) + 32 – 8х = 0

= (6 - x)² – (32 – 8х) = x² – 4x + 4 = (x - 2)²

2^x= 6 – x ? (x – 2)

2^x= 4

x = 2

2^x= 8 – 2x

x = 2

Т.к. у = 2^х функция возростающая, а y = 8 – 2х функция убывающая и х = 2 их единственная общая точка.

б) 2logх + хlogх + 4х – 32 =0

а) К решению какого уравнения можно свести заданное уравнение? (Ответ: квадратное относительно t)

Пусть log х = t,

тогда 2t² + xt + 4x – 32 = 0

D = x² - 4· 2(4x - 32) = x²– 32x + 256 = (x - 16)²

t_1,2 =

t₁= = -4

t₂ = = 4 -

(возвращаясь к замене t = logх имеем: log х = -4 => х = ; log х = 4 - )

Т.к. y = log х – функция возрастающая, а y = 4 - х функция убывающая, то они могут иметь один корень х = 4. (Получить х = 4 можно и с помощью подбора)